数学的雨伞下：理解世界的乐趣

关于我们在前文中谈到的所有主题，还有千言万语可以述说。从对数到相对论，从万有引力到无穷大，每个主题都异常丰富，以至于每个主题都有成卷的专门著作，一些学者耗尽毕生精力去研究它们。为了讲述这些故事，我不得不做出选择，舍弃一些激动人心的事情，对一些细节视而不见，以便直奔主题。 但是，有一点，我认为有必要做一些澄清。在讲述科学

在日食的辉煌之后，广义相对论陷入低潮。就像任何一项人类活动，科学也会受到其主导者情绪波动的影响。科学家们也有他们的风潮，一个流行了数年的话题可能会在一段时间后被人遗忘。在三十来年里，广义相对论已不再引领风潮。 导致相对论暂时无人关注的原因有几个。首先，竞争已然很是激烈。20 世纪初是物理科学的黄金时代，很多惊人的发现接

19 世纪末，牛顿的引力理论刚刚取得两个世纪的成功。就连他明显的错误都变成了成就。回想一下于尔班·勒威耶的故事。为了解释理论与天王星观测轨迹之间的差异，他提出了一个存在尚未有人看到的第八颗行星的假设。他计算出这颗行星的假设位置，从而发现了海王星。 但勒威耶并不打算就此罢休。在 19 世纪 40 年代，这位天文学家注意到

爱因斯坦的理论是美丽而有效的，但所有这些空间和时间的变形似乎都很随意，且无法理解。直到现在，大自然已经让我们习惯了优雅且容易表述的法则。牛顿的“万物落在万物之上，一刻不停”听起来不错！在这里却恰恰相反，速度引起的几何变形似乎是一种离奇又莫名其妙的难题。 因此，我们不得不承认这一点，因为诸如迈克耳孙和莫雷等物理学家所做的

1905 年 9 月，爱因斯坦发表了《论动体的电动力学》。在这篇论文中，他提出了一个革命性的理论，对我们关于空间和时间的观念提出了深刻的质疑，这就是（注：为什么是“狭义”？这个形容词是十年后爱因斯坦用一种更为完整的新理论（广义相对论）重新审视旧文时加上的。我们在后文中还会回到这一点上。）。 这位德国科学家在文中彻底解决

你的速度有多快？ 你的速度有多快？就在这里，就是现在。 如果你在火车上阅读本书，你目前的速度可能是 200 千米 / 时。在不同的列车上，你的速度会快一点儿或慢一点儿。相反，如果你安静地待在客厅里的沙发上、海滩上或公园里，你的速度就是 0 千米 / 时。你是静止不动的。 顺便说一句，即便是后一种情况，你的“静止不动”也

好的，我们就以正方形为例。欧几里得的几何学里有正方形，但飞行员的几何学里却没有。那在贝尔特拉米的几何世界里呢？是否存在四条边相等且有四个直角的图形呢？ 你瞧，他们拿出直尺和角尺开始画图形。可惜呀，他们的每一次尝试都以失败告终。画出来的图形要么缺一个直角，要么有一条边和其他边不相等，总是在某个地方卡壳（图 4.25）。又

在查看世界航空交通图时，你会惊讶地发现，似乎没有一架飞机是沿直线飞行的。大多数飞机沿着朝向两极的曲线轨迹飞行。比如，往返于欧洲和北美的长途航班的航线通常会转向冰岛和格陵兰岛，有时甚至会进入北极圈。即便出发地和目的地处于同一纬度，飞行路线也不会沿着平行线：先向北“爬升”，再向南“下降”（图 4.14）。 图 4.14 图

1901 年，英国逻辑学家伯特兰·罗素(Bertrand Russell)发表了一篇文章，他在文中写道：“数学可以被定义为一门学科，在这门学科中，你永远不知所言为何物，也不知所言之物是否为真。”这一评价既清晰又生动。罗素不仅没有将数学的不确定性视作有害的，而且还字字句句地大声宣告，这恰恰就是数学之所以是数学！ 而我们可

这些多姿多彩的讨论似乎让我们离欧几里得的第五公设有点儿远了。但这些讨论会非常有助于我们了解几何学。因为在数学领域也一样，定义可能是主观且模糊的。 小孩子在初次接触几何形状的时候，可能会碰到由词语造成的错误定义。看看下面这两个图形（图 4.7）。 图 4.7 图 4.7 很多六七岁的小学生会坚持认为，第一个图形不是三角形

“蓝绿语”是只用一个词语来表示蓝色和绿色的语言（注：没有现成、明确的形容词来指称这些语言。有些人在互联网上发明了“蓝绿”这个词（译者注：vleubert，即法语绿色“vert”和蓝色“bleu”的合成词），而我选择遵循他们的这一发明，是因为这个词很有趣。）。我们往往很少意识到词汇对我们感知色彩的深刻影响。对我们来说，再

欧几里得的第五公设 我们如何能够对自己的所知确信无疑？ 这个问题一经提出就一直困扰着人类。当然，我们观察这个世界，分析这个世界，看到相同的原因产生了千百次相同的结果，而渐渐地，我们最终认为，自己了解了一些自然的机制。但我们的自信能够达到何种程度呢？如何才能避免沦为偏见、运气不佳和糟糕阐释的受害者呢？我们是否根本无法说“