在查看世界航空交通图时，你会惊讶地发现，似乎没有一架飞机是沿直线飞行的。大多数飞机沿着朝向两极的曲线轨迹飞行。比如，往返于欧洲和北美的长途航班的航线通常会转向冰岛和格陵兰岛，有时甚至会进入北极圈。即便出发地和目的地处于同一纬度，飞行路线也不会沿着平行线：先向北“爬升”，再向南“下降”（图 4.14）。
在第一次看到这样的航线图时，我首先想到的是，这肯定是出于务实的考虑。也许这是一个外交或国际空域协议的问题。后来我想了一下，才发现原因比我想象的要更基本。这是一种纯粹的几何偏差，不过是视角的问题。因为这些飞机的确是沿出发地和目的地之间的最短路线飞行的，尽管表面看来并非如此。
平面球形图都是变形的。因为地球是圆的，或者说几乎是圆的，而地图是平的，所以必须扭曲现实才能将地球转换成地图。相等的距离在地球仪上和在地图上可能会有所不同，反之亦然。图 4.14 中的航线图是用墨卡托投影绘制的。在这幅图中，两极附近的区域比赤道附近的区域大。格陵兰岛看上去比美国还大，但实际上前者是后者的 1/5。
正是因为这种变形，飞机的飞行轨迹才会呈现弯曲的形态。如果在地球仪上查看这些飞行轨迹，我们会更清楚地看到这些航线是最短的路线。而反过来说，在地图上看起来为直线的航线在地球仪上则突然转了弯（图 4.15）。
你在花时间去研究这种球面几何时会感到很困惑。例如，要抵达相对靠南的地方，通常需要朝北出发！如图 4.15 所示，往返于加拿大温哥华和埃及亚历山大港的航班就是这种情况。亚历山大港更靠南，但前往此地的最短路线是先朝北走再南下。
对于寻求对《几何原本》的用词做出新阐释的我们来说，球面几何的这些奇异特性尤其值得关注。如果一名飞行员跟你说，他要沿直线从温哥华飞赴亚历山大港，那么显然，他所说的“直线”一词与欧几里得的意思不一样。对于这位亚历山大港的数学家来说，连接两座城市的直线是一条从地球内部穿过的线，必须在我们的星球上挖一条巨大的隧道，才能沿这条直线而行。飞行员的意思实际上是说，他在顺着地球圆形表面飞行的同时沿着两个城市之间的最短路线飞行。他口中的“直线”实际上是一个圆弧。
这种词汇的模糊性是检验我们歧义理论的天赐之物。既然飞行员所说的直线与《几何原本》的直线含义不同，那么我就会想要知道这种阐释对几何的经典理论有什么影响。如果我们开始把飞机的弯曲路线称为“直线”，五个公设是否还能得到验证？
我们就以第一个公设为例：从任意点到另一点可引且只能引一条直线。这个说法对飞行员来说是否成立？乍一看，你可能会认为成立。任何一架想要从一个城市到另一个城市的飞机似乎都可以通过一条唯一的较短路线来做到这一点。但是，如果你更为精确地思考一下，就可以找到一个反例：如果这两点是对径点，那就行不通（图 4.16）。
想象一下，一架飞机从北极起飞前往南极。这架飞机前往南极的最短路线是什么？应该朝哪个方向飞？嗯……它可以选择不同的路线。所有的方向对它来说都是相同的，它可以沿着任意一条经线出发，飞行的距离将完全相同。
两极之间的唯一直线是不存在的，而是有很多条直线。第一个公设不成立。
如果继续以球面几何的方式分析，你会发现第二、三、四个公设都成立，而第五公设则不成立。简而言之，在航空领域中无法应用欧几里得的定理，大部分结果不准确。误解一说站不住脚。
其中一个最令人不解的例子是，地球表面不存在正方形。飞机无法沿着具有四条等边和四个直角的轨迹飞行。如果一名飞行员起飞并决定连续进行四次 5000 千米的直线飞行，每两次飞行之间转四分之一圈，那么他就不会降落在起点。反之亦然，如果他想回到起点，他的转弯角度就必须比直角稍大一些（图 4.17）。
简而言之，球面几何与《几何原本》中的几何不同。五个公设中只有三个能够成立。在和某个人进行讨论时，如果你不知道对方所说的“直线”是出于欧几里得的意义还是出于飞行员的意义，那么你只要问问这个人是否存在正方形，你们的讨论就能得出结论。如果对方的回答是肯定的，那他说的就是欧几里得的直线；如果是否定的，那就是飞行员所说的直线。
没有了误解，这个例子就无法让我们解决第五公设。但它会给我们带来启发。现在，我们就有了一种对几何学做出新阐释的方法：绘制地图。如果我们想象一些古怪的天体具有和地球截然不同的形状，但几何学家还是绘制出它们的平面球形图，会发生什么呢？例如，我们可以尝试绘制鸡蛋、花生或甜甜圈形状的地图（图 4.18）。
这三种图形上的线条都可以被称为直线，因为它们描绘的是飞行员在这些天体上的最短飞行路线。而如果按照这些图形所示来描述，我们就可以再次发问：欧几里得的公设会变成什么样子？哎呀呀！在这些例子中，观察结果会和对球体的观察结果相同：五个公设中只有三个能够得到验证。它们的几何形状自然引人入胜，研究它们所蕴含的定理也会特别有趣，但这在第五公设上没有给我们带来任何启发。为了能够继续向前推进，我们需要第二种想法，为此，我们朝着抽象再迈进一步。
那要是我们发明的地图是独立存在的，呈现的并不是三维天体的平面图呢？你只要想象一幅图，在这幅图中，我们根据自己的需要让物体根据其所在位置而或大或小。类似一个虚拟世界，这个世界里的一切都会随着移动而改变大小。
1868 年，意大利数学家欧金尼奥·贝尔特拉米(Eugenio Beltrami)发表了一篇名为《常曲率空间的基本理论》(“Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante”)的论文。他在文中详细介绍了各种变形地图的例子，还特别提到一个受扭曲支配的圆盘的例子，这个圆盘让接近其边缘的物体显得越来越小。
想象一下，这个圆盘上居住着大小相同且可以在圆盘上随意移动的扁平生物。如果对这些生物的生活状况进行观察，我们就会不断看到靠近中心的生物变大，远离中心的生物缩小（图 4.19）。但要记住，这种扭曲不过是一种地图的错觉。圆盘上的生物丝毫不会觉得自己的大小在改变。飞行员在格陵兰岛上空也不会觉得自己变得更大。
这张地图与我们之前看到的那些地图不同，因为它与任何三维图形都不对应。它不是对某个天体的扭曲扁平。它凭借需以其本来面目被接受的扭曲定律而独立存在。
这种做法乍看起来似乎很奇怪，但其实和我们已经做过的其他思考颇为相似。回想一下，我们之前接受了数字可独立存在，而不考虑它们是否涉及任何实物的情形。这里的情况是一样的。我们只需研究这个圆盘本身的几何形状，不用去考虑它是否是牵涉真实之物的地图。数学不是物理科学。我们在数学世界里创造想象的世界，而这正是贝尔特拉米所做的。
这位意大利数学家并不是第一个设想出这种几何形状的人。在 19 世纪，这种想法风行一时。在他之前，卡尔·高斯(Carl Gauss)、尼古拉·罗巴切夫斯基(Nicolaï Lobatchevski)、亚诺什·鲍耶(János Bolyai)，还有波恩哈德·黎曼(Bernhard Riemann)，都曾做出过这种设想。但贝尔特拉米设想的圆盘因其简洁的表现形式而成为一个新阶段的标志。它还被很多数学家所采用，尤其是法国数学家亨利·庞加莱(Henri Poincaré)，他的研究让这个圆盘广为人知。庞加莱展示了这个圆盘无比美妙的定理，甚至抢走了其缔造者的风头，直到今天，即使在意大利，这个圆盘也被称为“il disco di Poincaré”，即“庞加莱圆盘”。
我们必须明白，所有这些科学家都不满足于像我们所做的那样，用一个模糊的描述来说明物体似乎在边缘附近收缩。为了能够精确地研究圆盘的几何形状，他们对圆盘的规律做出了严格的数学描述，特别是随位置而变化的大小变化系数[¹] 的函数，这样就可以精确地计算变形，测量距离、面积、位移，更可以研究这个世界上一切可能与我们有关的东西。
贝尔特拉米和庞加莱的世界绝对是奇妙无比、包罗万象的，我在此只能为你讲述其中的一小部分。这个世界最惊人的特征之一是：从其居民的角度来看，圆盘是无限的。地图扭曲得如此厉害，以至于它在我们的眼中就像一个简单的圆，一个在现实中没有任何边界的世界。
我们会觉得这个世界里的生物就像被关在一个罐子里，但如果你观察到这些生物朝着你所认为的它们的世界的边缘靠了过来，那么你就会看到它们在飞快地缩小，似乎永远无法抵达那个边缘（图 4.20）。对于它们来说，这个边缘是不存在的。它们自由地生活在一个没有边界的宇宙中。
但不要忘记我们的目标。既然我们是来讨论几何的，那么是时候和贝尔特拉米与庞加莱圆盘上的几何学家讨论一下欧几里得的《几何原本》了。这些几何学家会如何解释其中的用词呢？“直线”“圆”或“平行线”对他们来说意味着什么呢？
首先，我们可以让这些几何学家在他们的世界里画几条直线。你瞧，他们拿出铅笔和尺子画了下面这个图形（图 4.21）。
我们大抵预料得到，就像在航线图上一样，他们画的直线在我们看来是弯曲的。由于物体在靠近中心的地方显得较大，因此较短路线朝着这个方向弯曲就是正常的，就像它在我们的平面球形图上朝两极弯曲。经过中心附近的路线比沿着边缘的路线要短。
相反，如果我们在他们的圆盘上画线，从我们的角度去看，这些线就是直线，而他们就会告诉你这些线是弯曲的，而且，并不是从一点到另一点的最短路线（图 4.22）。
简而言之，由于“直”这个词在他们和我们看来所指的不是同样的图形，于是我们确实有了一种模糊的含义。因此，我们可以再做一次尝试，并问问这些几何学家对欧几里得的五个公设有什么看法。
这一次的开头开得比较好，因为第一个公设在他们的解释中为真。通过圆盘的两个点，确实可以作一条且只能作一条直线。也就是说，这些曲线中只有一条经过两点，而他们把这条线称为直线。继续后面的公设，来自贝尔特拉米圆盘的几何学家会告诉你，他们也同意第二、第三和第四个公设的描述（图 4.23）。
相反，到了第五公设就卡住了。回想一下第五公设是怎么说的：“给定一条直线，通过此直线外的任何一点，有且只有一条直线与之平行。”你瞧，圆盘上的居民正做着鬼脸告诉你，这种说法是错的。在它们的世界里，平行的唯一性是不存在的。对于它们来说，给定一条直线和一个点，就有无限条与该直线平行并经过该点的直线（图 4.24）。
所有这些以虚线表示的直线都经过该点，并与给定的直线平行，也就是说，它们与该点不相交。因此，误解似乎就是在这里产生的。第五公设有所不同。这一结论可能再次无法成立，但仔细想想，这种情况或许是一次机会。
记住我们提出的问题：我们想知道是否可以仅根据前四个公设而不需要第五个公设来证明欧几里得的定理。想什么来什么，这恰恰就是贝尔特拉米和庞加莱的圆盘上的生物所处的情况。它们只有前四个公设，没有第五个。
那么想象一下，仅根据这四个公设就可以重写《几何原本》。这样一来，误解就会变得完美。我们可以把重写的《几何原本》念给圆盘几何学家们听，而他们却不会意识到我们在谈论的不是同一件事。相反，如果第五公设对《几何原本》来说是必不可少的，那么欧几里得的定理对他们来说就肯定是错误的。
简而言之，如果四个公设就已足够，那就会有误解。而如果第五公设是必不可少的，就不会有误解。要解开第五公设的谜团，我们只需问自己一个问题：《几何原本》的几何形状和圆盘的几何形状是否可以区分开来？在和一个出身未明的几何学家讨论时，是否可能知道他所说的是欧几里得的几何，还是贝尔特拉米的几何？是否可能对他提出一个根据不同情况答案也会有所不同的问题？
因此，让我们深吸一口气，从《几何原本》中选择一些结论，然后提出问题。一个两千年的悬念即将被揭晓。
[1] 如果你对这个方程感兴趣的话：庞加莱圆盘的半径等于 1，则任意与其中心距离为 r 的对象的角直径都为 公式图 。
