这些多姿多彩的讨论似乎让我们离欧几里得的第五公设有点儿远了。但这些讨论会非常有助于我们了解几何学。因为在数学领域也一样，定义可能是主观且模糊的。
小孩子在初次接触几何形状的时候，可能会碰到由词语造成的错误定义。看看下面这两个图形（图 4.7）。
很多六七岁的小学生会坚持认为，第一个图形不是三角形，第二个图形不是正方形。的确，他们在所处的环境中碰到的三角形大多是等边三角形。因此，在他们看来，“三角形”这个词所指的并不是任何具有三条边的形状，而是单指具有三条等边的形状。同样，他们看到的大多数正方形是“正”的，如果正方形像图 4.7 中这样旋转一下，他们就不认得了，而且更愿意用“菱形”这个他们知道的图形名词（注：这个答案本身也是正确的。正方形是菱形的一种特殊形式。）。
这种不确定性在成人阶段并没有完全消失。如果你向驾驶员展示下面两个路标，很多人仍会犹豫能否把第二个图形称为正方形（图 4.8）。
好吧，我们来做一个词汇的测试。“六边形是一个有六条边的图形”，这个定义看似清晰、准确，没有歧义。在这种情况下，你能指出以下五个图形中哪一个是六边形吗（图 4.9）？
你犹豫了，对吗？六边形是一个有六条边的图形，这一定义有点儿模糊。什么算是一条边？这条边必须是直的吗？这六条边彼此之间应该按照某种特定方式来排列吗？
如果你在字典里查找六边形的定义，你可能会失望地发现有好几种定义。比如，六边形可能被定义为一组闭合的六条线段。照此定义，六边形就是一维的线，而图 4.9 中的图形是面，所以哪个都不是六边形。相反，其他更为宽泛的定义会告诉你，这六条线段围成的面也可以称作六边形。在这种情况下，前两个图形可以算作六边形，但后三个不行。你可以轻松地想见，其他的定义也会具有同样的准确度，但会给出不同的结果。根据你对所用词语划定的界线，一切皆有可能。
不要以为数学家就会更加理性。他们经常会根据情境采用定义不同的用语。例如，根据字典给出的定义，谢尔宾斯基三角形绝对不是三角形，勒洛三角形、彭罗斯三角形或帕斯卡三角形同样也不是三角形（注：勒洛三角形是一个定宽图形，也就是说，如果我们用这种图形代替自行车轮，自行车骑起来就不会颠簸，就像用圆形车轮一样。彭罗斯三角形是一个矛盾的透视图形，它所描绘的三维对象并不存在。帕斯卡三角形是一组数字，每个数字是其上方两个数字之和。）（图 4.10）。
当然了，看着这些图形，我们完全可以理解为什么会把它们叫作三角形。但是，从严格的几何意义上来讲，它们都不是三角形。但这并不妨碍人们继续称它们为三角形，这无伤大雅。
我们在这里必须明白一件事：所有这些语言的模糊性都只是表面上的。这些模糊性是可以识别的，而且在必要时是可以减少的。在日常生活中，我们在使用词语时并不需要绝对精确。我们可以轻松应对歧义。如果这些歧义最终妨碍了沟通，我们只需稍加讨论，就某个精确的词语达成共识就行了。
一个孩子在几个月中错误地理解了“三角形”一词，最终，孩子会意识到自己需要扩展对这个图形的定义。这种误解并不是决定性的。同样，一个伯瑞摩人可以学会区分蓝色和绿色，而一个欧洲人也可以学会区分“wor”和“nol”。或许，就连你也曾经意识到，某个词或某种表达方式并不具有你多年来赋予它的含义，但这种误解没有给你带来任何损害（注：本书的插画师克洛伊告诉我，“赞美酒神的”(dithyrambique)这个词对她来说就是这种情况。那么你呢？）。
戏剧尤其喜爱误解带来的喜剧反转。两个人物各说各话，但说话时的用词，却让他们误认为彼此心意相通。法国文学中最著名的此类喜剧反转之一，就是莫里哀的《吝啬鬼》里阿巴贡和瓦赖尔之间发生的一幕（图 4.11）。阿巴贡说的是他被偷的金币，瓦赖尔说的是和自己私订终身的爱丽丝——阿巴贡的女儿。两人都在谈论“心肝宝贝”，都在谈论“爱”，都在谈论“错误”。在主角们意识到彼此的误会时，对话已经展开了四五十行。
仔细想想，这种对歧义的思考或许比表面看来要更严重、更深刻。如果存在绝对无法察觉到的误解呢？比如，两个人各说各话，却完全无法意识到彼此在说什么。
举个例子，想象一下你看到的两种颜色是完全颠倒过来的。假设这两种颜色是蓝色和红色。注意，这可不是色盲：你依然可以感知三原色，只不过把其中的两个颠倒了过来：你看到的红色是其他人看到的蓝色，反之亦然。那么你能否意识到这一点呢？小时候，大人指着西红柿跟你说是红色的，指着天空跟你说是蓝色的。因此，在学习语言的时候，你自然而然地会把“蓝色”这个词和“红色”的感知对应起来，反之亦然。于是，词语的颠倒就完美地弥补了你感知的颠倒。在看到“蓝色”的西红柿时，你会深信这就是被称作“红色”的颜色，所以你会说：“西红柿是红色的！”而每个人都赞同你的说法，没有人能够指出这种误解。
你敢肯定我正在描述的不是真的吗？假设你真的以蓝为红，那你能想出可以发现红色和蓝色颠倒的任何经历或对话吗？无论你怎么想，答案都是否定的。
另外，如果每个人的感知都是独有的，而且无法与其他人的感知相比较呢？那么，或许每个人都会有自己所称的“蓝色”，而不会在其他人的色谱中找到这个“蓝色”的任何对应。比较我们的主观体验这个想法本身是否真的具有意义？无论如何，这个问题注定没有答案，因为这种个人主观性的本质是无法通过任何讨论、任何问题和任何经验来加以揭示的。误解，如果有的话，是察觉不到的。无论你看到了什么，无论你感觉到了什么，你对世界的感知都是你所独有的。
这种绝对的、没有任何希望的主观性不仅限于颜色。或许味道、声音和气味也是如此。你尝到的咸味可能是别人尝到的甜味，你听到的低沉声音可能是别人耳中的尖利之声，你闻到的玫瑰香气可能是别人鼻中的丁香芬芳。生活也许只是一群各自谈论不同事物的人之间的一种巨大误解。
在这种情况下，与他人交流的可能性并不取决于我们谈论的是相同的事物，而只取决于我们谈论的事物彼此之间具有相同的关系这一事实。或许你眼中的蓝色、红色和紫色和我眼中的蓝色、红色和紫色并不一样，但无论如何，你都会赞同红色和蓝色可以混合出紫色的说法。这样，我们说出的话才能在我们赋予这些话的千百种阐释中为真。这或许才是唯一重要的事情。
我们通常会认为数学的目的就是辨别真假，于是就会陷入一种焦虑。数学是否也会存在绝对的误解？我们是否可以断言，在做几何或算术时，我们确切地知道自己在谈论什么？
在《几何原本》中，欧几里得使用了诸如“点”“线”或“圆”之类的词语，或许在看到这些词的时候，你会在脑中描绘出这些词语指称的足够精准的画面。但其他人能否赋予这些词语不同的含义呢？你觉得，人们能否在对所用词语具有不同想法的情况下，谈论几何呢？
没有悬念：答案是肯定的。数学是模棱两可的。数学就像颜色，可能为绝对的主观性所累，而很多理论可以用几种不同的方式来阐释。
在 19 世纪，人们意识到数学可能被误解所累，这一事实既令人感到震惊，又让人深受启发。但最令人惊讶的事情尚未到来。一些果敢的天才不仅没有退缩，而且扭转了局势，把数学的这一弱点变成了优势。科学就像加拿大的森林，有时候需要燃烧才能浴火重生。再没有什么比一场灾难更能激励科学家去探究，并由此创造出新的理论了。
如果说事物具有模糊性，那么就让我们用数学去处理这种模糊。让我们创立一种关于模糊的严谨理论吧，让我们学习如何精确地研究不精确吧。尽管这听起来实在让人惊讶，但第五公设正是通过对含义的“放手”才得到了解决。现在我们明白了，全世界的科学家之所以在两千年中都未能解开第五公设之谜，不是因为他们对欧几里得的几何不够了解，恰恰相反，那是因为他们认为自己对所谈论的对象太过了解。
灾难于是变成了大获全胜。而模糊的理论变成了数学史上最出色、最辉煌的成就之一。