现在，我们的调查进行到了必须对嫌疑对象的过去探究一番的阶段。想要了解是什么造成了加法和乘法互补性的竞争，我们就得回溯数学的源头。运算是从哪里来的？运算有着什么样的历史？它们又是如何变成今天这副模样的？
把眼睛闭上片刻，深吸一口气，然后让我们展翅高飞。我们将前往今中东的伊拉克地区。在那里，我们将潜入一段混乱而深邃的过去，这段过往完好地保留了一些关于数字和运算不可言说的秘密。
好了，我们回到了四千年前。
在巴比伦肥沃的原野上，最早的人类文明之一正欣欣向荣。自几个世纪以来，用红色和赭石色黏土建造的美丽富饶的城市在底格里斯河和幼发拉底河的两岸蓬勃发展。其中规模最大的城市里已经挤满了成千上万的居民。那里的人们主要说阿卡德语，但还有其他几种语言混杂其中。文字是此前一千多年发明的，而知识已经代代相传并积累起来。那里形成了复杂的行政部门，贸易高速发展。
就是在这些古代城市中，出现了最早的书吏学校，其目的是教授最先进的知识。在此之前，大多数知识是通过从事某种职业以边做边学的方式传播的。父母传给孩子，商人传给学徒，或只是在同一领域的工匠之间互传。诚然，在之前的几个世纪中已经出现了一些学校，但其数量依然很少，而且缺乏组织性。公元前三千年末，教育体系得以构建，“埃杜巴”（edubba，即“泥板书屋”）开始在该地区的大城市中蓬勃发展。
我们要去的地方就是其中的一间泥板书屋。
我们现在到了幼发拉底河的河畔，眼前是尼普尔的城门。这座城市占地超过一平方千米。城市的中心耸立着“埃库尔”，即“山屋”，高耸的山屋俯视着这座城市，并吸引着过往的旅客。绕着山屋往西走，我们沿着伊南娜（Inanna，爱与战争的女神）神庙前行。运河沿着城墙流淌，在码头上忙碌的商人和船夫的喧哗声回荡在街头巷尾。
我们沿着河岸走了两百米，然后向左拐。这里就是书吏们所在的街区了。在这个稍稍偏离市中心的小山丘上，十来间低矮的民房聚成一片，朝向十来个露天庭院。在四十个世纪之后，人们将会在这里发现数千块黏土板，上面布满了学童们密密麻麻的纤细笔迹，考古学家把这里称作“泥板山丘”。
尼普尔的泥板书屋在整个美索不达米亚尽人皆知。这里是最活跃、最具影响力的学校聚集地。在每个小庭院里，都有几个学生在自己的泥板上一笔一画地写着精确的楔形文字符号。对于他们来说，老师们发明了历史上最早的学校课程，而在美索不达米亚所有的学校里，人们都遵循尼普尔式的教学方法。学生们逐渐学会了一名合格书吏应该知晓的一切。他们学习苏美尔语，也就是学者的语言，然后进行抄写、书写练习或写作。他们还要学习当时最先进的科学。当然了，还有数学。
书吏所学习的数学并不是街头的那种数学。就像苏美尔语是学者的语言并不再被普遍使用那样，学者们拥有属于自己的记数系统。这种记数系统不同于商人或牧羊人在日常交易中所使用的记数系统。正是借助这种系统，美索不达米亚人成为最早在并非刻意为之的情况下体会到乘法思维乐趣的人。
让我们走进一间泥板书屋去看一看。学生们在院子里。大约有十来个人正顶着烈日坐在地上做演算。他们右手紧握着芦苇笔（一种将芦苇削尖制成的书写工具）在柔软未干的泥板上写画。有时候，一个学生会站起身走到井边，从井里汲一点儿水把泥板的表面重新沾湿或抹平写错的地方。
尽管他们的写法和我们的写法不同，但他们的记数系统却出奇地现代，而且和我们今天所使用的记数系统很相近。这是一种按位置划分的系统。在这种系统中，一个数字的值取决于它在数字书写中所处的位置。
例如，你在写 123 的时候，你知道有 3 个个位、2 个十位和 1 个百位。每个数位所表示的值是其右侧数位的 10 倍。美索不达米亚人的记数方法依照同样的原理，但有一个细节：每个数位所表示的值是其右侧数位的 60 倍。我们称之为以六十为基数的记数法，或六十进制。
看一眼其中一个学生的泥板，你会发现他刚刚书写了 123。或更确切地说，他用楔形文字写下了 公式图 。因此，这个数字是由 3 个个位、2 个六十位和 1 个六十的六十位（即三千六百）组成的。因此，楔形文字 公式图 表示的数就是我们十进制系统中的数 3723（1×3600+2×60+3×1，图 1.15）。
以六十为基数的记数系统被使用了将近两千年，直到美索不达米亚文明的衰落。尽管这种记数系统具有出色的效率和惊人的现代性，但它有两个不足之处：尼普尔的学者们没有想到发明零和小数点。
你或许对楔形文字和六十进制的概念还不是很熟悉，那么，要想很好地理解这两个不足之处产生的后果，就请想象一下如果把它们转换成我们的十进制系统会发生什么。如果没有零和小数点，我们该怎么做？就以下面这几个数为例。
12 120 1200 12 000 1.2 0.0012
现在把这些数中的零和小数点去掉。
12 12 12 12 12 12
我们会陷入一片混乱！
我们根本无法分清这些数哪个是哪个。数 12、120 和 1.2 的书写方式全都一样。一如数 540、5400 和 0.54，或是数 9900、990 和 9.9。美索不达米亚的书吏们没有想到零和小数点，或是任何其他可以承担相同功能的符号，所以不得不面对以下这个严重的问题：在他们的系统中，不同的数可以共享相同的书写方式！
但我们很容易就会原谅他们的这个笨拙之处，因为他们用这些数创造过科学奇迹：异常高效的管理，极为精确的建筑数据和地形测量，准确性令人惊叹的天文观测和天体现象描述，随着美索不达米亚文明一同消失，直到千年之后才被重新发现的抽象数学知识。可以说，零和小数点的缺席并没有真正阻挡他们前进的步伐。
但这个问题很严肃。他们是怎么做到的？在不知道所指的是哪个数的情况下，如何用这些数进行计算呢？
美索不达米亚的书吏用一种超乎寻常的技巧摆脱了困境。因为这个问题不仅没有妨碍他们，还成了他们的一个过人之处！通过一种简单而绝妙的想法，这种记数方式的含混不清之处反而让书吏得以利用乘法的特性。
现在由你来做出判断。想象你就是一个书吏学生。你拿起一块新鲜的泥板和一支芦苇笔，然后和其他学生坐到一起。就像课堂上的练习，老师让你做以下乘法：12×8。你用楔形文字把算式写在泥板上（注：为了清楚起见，我们将在之后继续用十进制对这些示例进行说明，但之后的所有示例都与书吏使用楔形文字六十进制进行计算的方式相同。），然后开始思考。要怎么做？要进行计算，没问题，你手里有列出了乘法表的泥板，而且你已经完美地掌握了老师教给你的方法。但在开始计算之前，你必须知道要进行什么计算！因为记数系统很含混，你不太清楚 12 和 8 的值是多少。也许 12 实际上是 120，或者是 1200，甚至是 0.12。而 8 呢，则很可能是 8、80 或 0.8……通过添加小数点或虚构的零，就会有无数种可以用来阐释这个乘法算式的方法。而你呢，你的任务是得出结果！
在此前提下，这似乎是一项无法完成的任务。但是，一个数学奇迹出现了。在我们测试这一运算可能的几种阐释时，请仔细观察我们得到的结果。
12×8=96
120×8=960
1200×8=9600
1.2×80=96
0.12×0.8=0.096
这些乘法算式的结果有 96、960、9600 和 0.096。在没有零和小数点的情况下，所有这些答案都会写成 96——不可能写错，因为答案就是“96”，无论这个 96 表示的是什么。
这是数学既令人困惑又令人震撼的长处之一：有时候，它可以说出正确的事情而人们不必知道说的是什么。书吏们就这样在既没有零也没有小数点的情况下做了乘法，并得到了既没有零也没有小数点的结果。他们并不知道自己所写的是哪个数，但是，他们的结果总是正确的！
利用数学的这一特性，美索不达米亚人发现了在很多个世纪之后科学家所称的不变量。正如我们所能想见的，不变量是一种不会变化、保持恒定的东西，无论其出现的情形如何变化。
在此处，无论对 12×8 这个乘法算式可能做出怎样的阐释，既没有零也没有小数点的结果是不会变的：96。不变量在很多科学领域中都会出现。在进行数学探索的过程中，我们还会碰到很多其他的不变量。
“切中要点”总会带来一种挖掘出某些深刻而珍贵之物的兴奋感、一种揭开了神秘面纱的兴奋感。不变量揭示了将不同先验事物聚集在一起的东西。这是一种共同点，就像隐藏在后台的齿轮，一旦让它露出真容，你就会因为了解了事物的运转原理而获得这种既欢欣又从容的满足感。
书吏们对这种不变的记数系统处理得如此之好，以至于他们在近两千年的时间里都没有零和小数点。但是到了公元前 3 世纪，他们中的一些人最终发明了一种零符号，并将其记为 公式图 。然而，这种迟晚的发明只有很短的时间去发展。已经显露出颓势的美索不达米亚文明和楔形文字，连同其六十进制，都濒临消失。
现在，我们该离开幼发拉底河河畔，再次在时空中展翅高飞了。几个世纪后，尼普尔将不复存在。对于未来的考古学家而言，沙漠风中的几处废墟和埋藏在地下的泥板是仅存的硕果。
但这并不重要。
这段故事里真正的主角不是人类，也不是人类的这些文明。好的想法是不会消亡的。这些想法不过是蛰伏了几个世纪，做好准备，等待着属于自己的机会，等那一刻到来的时候，它们会在满腹好奇并受到启发的智人的大脑中重出江湖。零，在公元 300 年前后重返古印度，我们继承的十进制系统就是在那个时候发明的。
至于令人惊讶的乘法不变量，则将在许多世纪之后成为一名苏格兰科学怪杰的灵感之源，他将极大地促进现代科学的发展。他还将为弗兰克·本福特提供理解本福特定律的数学工具。