公元前 3 世纪，距离狄多的故乡腓尼基不远的亚历山大城在科学界大放异彩。
这座新兴的城市是亚历山大大帝在几年前修建的，他手下的一名将领——托勒密一世，成了国王。托勒密一世想把亚历山大城变成世界的文化之都，并决定为此全力以赴。在几十年间，古代最美丽的城池之一平地而起。托勒密召来当时最伟大的学者，并创建了一座传奇图书馆，馆中藏书多达 70 万册。诚然，这个数量远远难以企及前文中那座完美图书馆的 10¹⁰¹⁹³⁸² 册之数，但必须承认，在那个年代，70 万是一个巨大的数量。在这座宏伟的图书馆中可以找到人类知识所有领域的书籍。在七个多世纪之间，亚历山大学派一直在科学的世界舞台上独领风骚。
这座城市依然在如火如荼地建设中，那个时代最杰出的数学家之一很可能在亚历山大图书馆里工作过，他就是欧几里得。也是在这里，欧几里得撰写了数学史上最具影响力的著作：《几何原本》（Elements，古希腊语是 Στοιχεία 或 Stoïkheïa）。
《几何原本》是影响力超越了其作者声望的著作之一。我们对欧几里得的生活几乎一无所知，所有关于欧几里得的古代资料几乎都已遗失。但是，他的《几何原本》却被一代又一代的人反复誊抄。这本书被翻译、修订、评论、分析和扩展，是有史以来版本最多的科学著作！《几何原本》共十三卷，悉数留存至今。
欧几里得以一种令人难以置信的现代的严谨性和条理性，在《几何原本》中奠定了整个数学的基础。自亚历山大城初建的时代以来，很多事情发生了改变。亚历山大图书馆被毁，而科学也改头换面。但是，如果有一样东西称得上永恒的话，那或许就是数学。欧几里得的定理依然在世界各地的学校里被教授，而他的方法在 23 个世纪后基本没有发生变化。
几何在《几何原本》中占据核心地位。欧几里得在这本书中提出了多种定义，尤其是建立了一种几何图形的完整分类。首先就是点，它是最小的几何元素。一个点，就是一个部分，一个空间中的位置。点就是它自己，不能分割成更小的若干块。点没有长度、宽度和厚度。我们常常用一个小小的圆来表示一个点，但你必须清楚，对数学世界的绝对性而言，这种表示方法是错误的。一个点无限小，因此无法为肉眼所见，也无法单独呈现出来（图 3.19）。
在点之后，就是欧几里得划分的三大类几何图形：第一类是线，第二类是面，第三类是体。这种划分界定了我们今天所说的维度。
线是一维(1D)的，面是二维(2D)的，体是三维(3D)的。而点呢，可以被看作零维(0D)图形。
在电影院，如果你选择观看一部 3D 影片，那么在戴上 3D 眼镜之后，你就会看到立体画面在屏幕上呼之欲出。相反，如果你选择了一部传统的 2D 影片，那么图像就会在屏幕上呈现平面状态。但要注意，2D 图像也可以完美地展现 3D 对象，这就是我们所说的透视图。如果你在一张纸上画一个立方体，你画出来的图形实际上并不具有立方体的形状，因为它是平的。图 3.20 是对 3D 立方体的一幅 2D 投影。
根据欧几里得的观点，不同的维度就可以共存于同一个图形中，但它们的性质却大不相同，而且它们的属性也不会混为一体！比如，不同维度的测量方式也会不同。线有长度，在我们现有的体系中以米(m)为单位；面有面积，以平方米(m²)为单位；体有体积，以立方米(m³)为单位。我们不能说线的面积，也不能说面的长度。
总之，在佩亚诺曲线问世前，是无法这样说的。
阐明维度的一种方法是查看在图形中对一个点进行定位所需的坐标数字。想象一下，一个骑手沿着一条路骑行，也就是一条一维线（图 3.21）。
要指出骑手的位置，只需要知道骑手从 0 千米出发骑过的距离。如果距离显示是 10 千米，你就可以准确地推断出骑手的位置。要说出一个点在一条线上的位置，只需给出一个数字。
而如果是一条驶离港口的船，情况则会有所不同。如果经过一小时的航行，这条船沿着直线走了 20 千米，那么还不足以知道它的位置。距离港口 20 千米的点足足有一圈（图 3.22）。
问题就在于，海洋的表面并不是一个一维图形，而是一个二维图形。因此需要两个数字来标定其上某一点的位置。例如，这两个数字可以是纬度和经度。纬线和经线在地球表面形成一张完美的网格，而纬度和经度这两个信息足以让我们精确地指出地球上的任何位置（图 3.23）。
但这一切的前提条件是停留在地表。如果你突发奇想要乘坐热气球，那么你就进入了三维空间，而你的位置就要通过三个数字来表示：纬度、经度和海拔（图 3.24）。
总的来说，我们可以把这些思考简化成一个句子：一个图形的维度是定位该图形的点的位置所需坐标的个数。一个坐标：一维。两个坐标：二维。三个坐标：三维。
请注意，这条规则也适用于一个点。指出一个点的位置不需要任何坐标，因为这个点是无法移动的！零坐标：零维。
这种观察事物的方式简单、有效又优雅，而且一切都以数学中最令人满意的方式运转无虞。欧几里得的分类在 20 多个世纪中一统几何学的天下，直到康托尔和佩亚诺打破一切。
朱塞佩·佩亚诺用无限曲线成功地在欧几里得的两类图形之间建立起一种不可能的联系。一条一维的线可以卷曲成一个二维的正方形。因为你要清楚，在欧几里得看来，佩亚诺的线是一个正方形。线的构成方式并不重要，唯一重要的是构成它的那些点，而这些点正是构成正方形的点。把这些点称为一条线，应该不是问题。但是，它的绘制方式却令人心生疑虑。忽然之间，一切都混在了一起。我们是否可以说一条无限的线拥有面积，还能以平方米为单位呢？我们是否可以说，正方形拥有无限的长度呢？
这种类型的混合让人有些恼火。如果你像我一样，喜欢有条不紊地按照类别和作者名字的字母顺序来排列自己书架上的书，而有一天，你最喜欢的科幻小说作者决定用化名发表一部历史小说，那么你或许就会理解 19 世纪的数学家在看到佩亚诺曲线时的那种恼火夹杂着好奇的心情了。
有了这位意大利数学家的构造，一条线可以变成一个面。尤其是，以后就可以通过单个坐标来确定正方形上一个点的位置了！为此，只需查看这个点在填满正方形的无限曲线上的位置（图 3.25）。
这一发现向我们清楚地表明，线和面之间的界限比我们想象的要模糊得多。这一发现需要深化和重新思考。原本对维度的严格定义是错误的。我们不能只满足于计算坐标。
所以，让我们继续往前走。面对这场几何危机，这些思考也为我们的研究带来了希望。如果这就是解开海岸线悖论之谜的关键所在呢？我们知道，英国海岸线的长度是无穷的，因为这些海岸线蜿蜒曲折，形成小之又小、数量无穷之大的线段。恰如佩亚诺曲线。撇开这些显而易见的事情不谈，如果海岸线不是线，而是面呢？这个想法看似荒谬，但也没有那么荒谬，不是吗？
在弄清这可能意味着什么之前，我们还有一段路要走，但至少我们有路可循：维度。