想要把适用于大数的模式和推理应用于无穷大，是一个根本性的错误。无穷大有着截然不同的本质，这就要求我们为它创造新的思维方式。
想象一下，你发了疯似地计数到无穷大。你开始安静地计数，旁边放着一个进度条，它显示出你从 0% 到 100% 的实时进度（图 3.4）。无穷大由符号 ∞ 表示，这个符号是数学家约翰·沃利斯(John Wallis)在 1655 年提出来的。
你觉得这个进度条会随着你的计数过程发生怎样的变化呢？比如说，在整整三个月后，你会打破杰里米·哈珀的纪录，这个进度条会是什么样子呢？这个问题很奇怪，答案也很奇怪。当你数到一百万的时候，这个进度条仍会显示令人失望的 0%。它怎么可能会是别的样子呢？因为和无穷大剩下要数的数量相比，你刚刚数完的一百万根本算不上什么。
无论你数到多大的数量，结果都一样。哪怕你数到十亿，数到古戈尔，数到“asamkhyeya”，甚至数到古戈尔普勒克斯，进度条依然会无情地停留在 0%！面对无穷大，数数没有任何意义。所有的数都很小。它们中的任何一个被单拎出来，对所有跟随其后的数来说都是微不足道的。
简而言之，在这个进度条上，所有的数都聚集在零的位置上（图 3.5）。在 0% 和 100% 之间绝对什么都没有。没有一个数会位于进度条的 1%、50% 和 95%。说到底，这是相当合乎逻辑的，因为无穷大的一半已经是无穷的了。如果你的进度条走到了一半，那么它实际上已经走到了终点。
由这些思考得出的唯一合理结论是，进度条的表现形式完全不适用于这种情况。如果你的目标是数到一个非常大的数，哪怕数到古戈尔普勒克斯，那么你的进度条也会乖乖地从 0% 走到 100%，遍历介于两者之间所有的数。但是，从“巨大”到“无穷大”的过渡标志着一种瞬间的突破，所有对“有限”行之有效的方法会突然变成逻辑上的灾难。像刚才这样的悖论会滚滚而来。你刚一开始思考无穷大，这些悖论就会毫无预兆地出现，并让你的常识和本能变得毫无用武之地。
纵观整个历史，很多学者都曾与无穷大狭路相逢，都曾遭遇阻碍，都曾选择了放弃。他们中的很多人说，这个怪兽太过离奇，说它既不是数学，也不是什么合理的思维，应该把它留在它自己的黑暗深渊中。它那超出一切控制的行为是让人无法接受的，而且似乎是无可救药的。
不幸的是，对于那些以为可以像忘记一场噩梦那样忘记无穷大的人来说，想要摆脱它可不是件容易的事。你把它从数论中驱逐出去，它又回到了几何中。你对几何视而不见，它又出现在代数里。对于那些害怕去思考无穷大的人，我们应当保持宽容，但今天，我们将无法容许自己这样使性子。如果我们想要继续前进，迎接自己发起的挑战，如果我们想要解开边境线的秘密和海岸线悖论，如果我们想要不断深入探索宇宙的机制，就不该惧怕横亘在前进道路上的悖论。直觉将经历几次暴风雨，但我们绝不能退缩。
但在这次冒险中，我们并非全然无助，我们会获得两个支持。第一个支持来自数学家，他们没有向无穷大这头怪兽缴械投降，而是设法一点一点地驯服了这头怪兽。第二个支持来自巧克力。
想象一下，你每天都会从一家巨型巧克力店的玻璃橱窗前经过，每每因为禁不住美食的诱惑而停下脚步。你每天在店里买两块巧克力，然后把它们带回家，但是你每次只吃一块，把另一块留下来。
渐渐地，你的橱柜里装满了所有买回来但还没有被吃掉的巧克力。更准确地说，你的库存每天增加一块。走进这家巧克力店的第一天，你储存起第一块巧克力。第二天，你储存起第二块，第三天，储存第三块，依此类推……一年之后，你的库存达到了 365 块！二十六年之后，你储存的巧克力不会少于 10000 块！现在，让我们问一下自己这个问题：假设你能永远活下去，并无限期地储存下去，那么在抵达时间尽头的那一天，你储存的巧克力会有多少块呢？
好吧，这个问题问得很蠢。我们都知道，“时间的尽头”不具有任何意义。就算精确用词很重要——我们稍后会做这件事情——但我敢肯定，你的直觉会赋予这个问题某种意义，即便是含糊的意义。因为你的库存每天都会增加一块，所以在永恒的尽头（也就是无穷大日子的尽头），将你积攒的巧克力库存估计为一个无穷大的数量似乎是合乎逻辑的。
话虽如此，我们还是来做一些数学运算，并试着更严谨地证实这一点吧。为此，我们就从为你的巧克力编号开始。让我们把你第一天购买的巧克力编为 1 号和 2 号，把你第二天购买的巧克力编为 3 号和 4 号，依此类推（图 3.6）。
现在，我们来确认一下你的消耗量。假设你每天吃掉当天购买的两块巧克力中的第一块，那么，你在第一天吃掉了 1 号巧克力，然后在第二天吃掉了 3 号巧克力，在第三天吃掉了 5 号巧克力，依此类推（图 3.7）。
通过这种方式，我们可以看出，你日复一日吃掉的巧克力的编号都是奇数。编号为偶数的巧克力（2 号、4 号、6 号……）被储存在橱柜里，因而注定永远都不会被吃掉。
那么现在，我们就可以为问题设定一个更精准的含义了。我们想要知道抵达永恒尽头的那一天还剩下多少块巧克力，就等于想要知道会有多少块巧克力不会被吃掉。在这种情况下，答案就很简单了，那就是所有偶数巧克力的数量。而且由于偶数总数是一个无穷大的数量，因此到最后，你的库存巧克力会是一个无穷大的数量。
到目前为止，数学似乎增强了我们的直觉，而我们距离可以宣告自己了解到一些东西仅有一步之遥了。但我们必须保持谨慎，让我们再做一个思维实验。现在想象一下，你决定按照编号顺序吃掉巧克力，而不是每天吃掉当天购买的两块巧克力中的一块。这样一来，你就会在第一天吃掉 1 号巧克力，在第二天吃掉 2 号巧克力，在第三天吃掉 3 号巧克力，依此类推（图 3.8）。
在以这种方式进行操作时，你会惊讶地发现，巧克力绝对会在某一天被全部吃光。100 号巧克力会在第一百天被吃掉，1000000001 号巧克力会在第十亿零一天被吃掉，古戈尔普勒克斯号巧克力会在第古戈尔普勒克斯天被吃掉，依此类推。因此，我们会得到这样一个奇怪的结论：在永恒的尽头，你的库存会变空。你的橱柜里一块巧克力都不会剩下。
如果你是一个正常人，那么这个结果必定会让你感到错乱。每天都只增不减的库存怎么可能归零呢？况且，结果怎么会因为选择吃掉编号不同的巧克力就不一样了呢？我们面对的是一个真正的悖论。但我们必须承认，在第二种情况下，所有的巧克力最终都会被吃掉。在时间的尽头，你的橱柜里一块巧克力也不会剩下（注：发现这一悖论的人会提出一种常见的反对观点，那就是，在时间的尽头，所剩巧克力的数量会是无穷大。但你必须清楚，这些巧克力是不存在的。整体来看，存在无穷大数量的巧克力，但单个来看，每块巧克力都有一个有限且确定的数量。如果你认为在永恒的尽头会剩下巧克力，那么你就应该能够给出它们的数量。）。
就是在这一刻，我们会倾向于认为，无穷大的运作机制中毫无数学和逻辑可言。同样的计算根据不同的运算方式会得出不同的结果，这简直荒谬！就像很多伟大的学者那样，我们可能会想要放弃对无穷大的思考。但现在需要的正是坚持不懈。
不管这听起来有多奇怪，但我们在上文中描述的计算并没有任何错误。如果你每天吃掉其中一块当天购买的巧克力，那么在永恒的尽头就会剩下无穷大数量的巧克力；而如果你按照顺序吃掉这些巧克力，那么一块巧克力都不会剩下。这个结果之所以会让我们感到震惊，是因为它违背了我们小时候在学校里学到的基本计算规则：一个运算的结果并不取决于被计算的对象。
巴比伦的书吏已经明白了这一点，而这就是他们数字系统的强大优势之一。如果我告诉你 5-2=3，你无须知道 5、2 和 3 的具体所指就能确定这个等式是正确的。如果你有五块巧克力，我从中拿走两块，那你那里肯定就会剩下三块。无论我拿走的是前两块、后两块还是任意两块，全都无关紧要，这对剩下三块这一结果不会产生任何影响。无论现实的情况如何，运算的结果都是不变的（图 3.9）。
数的这种特性如此自然而明显，我们几乎连把它表述出来的兴趣都没有，更谈不上对此感到惊讶了。但是，当我们谈论无穷大时，这个特性就是错误的。一个运算的结果取决于你计算的对象和你选择添加或删除的特定元素！这个新规则无论多么反直觉，你都必须接受和消化它，这样才能理解无穷大。
让我们来尝试一个新的实验。你推开那家巧克力店的大门，橱窗里是任你选择的无穷大数量的编号巧克力：1 号、2 号、3 号，等等。然后，你决定购买无穷大数量的巧克力。在你离开之后，店里还会剩下多少巧克力？
就像前文中所说的，答案取决于你要选择的巧克力。如果你选择买走所有的巧克力，那么店里就一块巧克力都不会剩下。但是，如果你选择买走奇数编号的巧克力，那么店里就会剩下无穷大数量的偶数编号的巧克力。如果愿意的话，你还可以选择所有编号大于 5 的巧克力，那么店里就会剩下 5 块巧克力（图 3.10）。
这三种情况全都与提出的问题相符：有无穷大数量的巧克力，你从中拿取了无穷大数量的巧克力。但结果却不一样！我们尝试的运算是 ∞-∞，这就是我们所说的“不定式”。也就是说，等式的结果取决于我们从第一个无穷大中减去第二个无穷大的方式。
求取 ∞-∞ 的值，就是提出一个缺少足够信息的问题。这有点儿像我跟你说：“我买了五块黑巧克力和几块牛奶巧克力，请问我总共买了多少块巧克力？”问题的信息不完整，缺少一条能够得出答案的数据。无穷大的狡诈之处就在于，看似完整的问题实际上是不完整的。
德国数学家格奥尔格·康托尔(Georg Cantor)是第一个完全理解了这个问题并对此提出了一种理论的人。从 1874 年开始，康托尔发表了一系列文章，他在这些文章中逐步为我们现在所称的集合论奠定了基础。
集合是一个包含若干数学对象的整体。例如，偶数集合包含 2、4、6、8，等等。在对一个集合进行运算的时候，我们确切地知道这个集合中包含了什么，而这正是我们进行无穷大运算所需要的。从数字的集合中减去偶数的集合，那么剩下的就是奇数。
如此一来，∞-∞ 这个算式就变得清晰明了：我们不再减去无穷大的数字，而是从另一个无限集合中减去一个无限集合。从现在开始，我们不再缺少任何信息，可以不再模棱两可地解决无限集合的问题了。康托尔的理论为巧克力悖论和大多数因无穷大而出现的悖论提供了一种精确的数学解答。
集合论将对另一个基本原理提出质疑：根据这个基本原理，整体大于其部分。例如，我们可能会认为奇数的无穷大比所有整数的无穷大“更小”，因为整数中还有偶数（图 3.11）。
这幅图似乎在告诉我们，吃掉奇数巧克力和吃掉所有巧克力似乎不是一回事。但这就是康托尔理论的重大悖论之一：一个无限集合的一部分可以包含和整个集合数量完全相同的元素。而这正是发生在奇数和整数之间的情况。我们可以通过观察图 3.12 来确认这一点。
康托尔的定义很简单：如果可以在两个集合之间建立完全对应关系，则这两个集合就含有数量相同的元素。如果你想检查一个大厅里的人数和椅子的数量是否一样，那么你可以让所有的人都坐下，如果没有空着的椅子或站着的人，那么两者的数量就是一样的。图 3.12 中显示，每个整数都有一个对应的奇数，正如每个奇数都有一个对应的整数，因此，奇数和整数一样多。
简而言之，如果要数到无穷大，你认为可以通过只数奇数（一、三、五、七……）来节省时间，那么你就大错特错了。所需的时间会一样长。
这听起来实在与直觉不符，但这类结果是驯服无穷大这个怪兽需要付出的代价。你内心最深处认为理所当然的事情可能是错误的……而且，你看到的这些根本算不上什么。从现在开始，无穷大将与我们为伴。而且，我们将比任何时候都需要懂得“放手”。无穷大的存在强大又危险，会像阴影一样笼罩着我们对这个世界的探索。一切都不会再像从前那样。