稍后我们会再回到钦博拉索火山的山坡上，现在我们先离开山顶一会儿，好探一探过去的学者为我们开辟的那些道路。早在我们之前，这些学者也曾有过他们的疑问和错误。有时候，这些疑惑让他们在几个世纪中停滞不前，直到某个学者最终找到了出路，直到他们的发现之路变得安全并被放置了路标。
在我们的先辈研发的工具中，数学为细细探究这个世界提供了名副其实的全套装备。而这套装备中最根本的工具之一，就是数字的概念。我们用数字进行计数、测量或计算，而任何想要走得更远的科学都必须与它结盟。
当然，你已经知道什么是数字了。你们每天都会碰到数字，数字在我们的生活中无处不在，以至于我们有时候都意识不到它们的存在。查看时间，在超市付款，查看汽车的里程表，测量顶峰的海拔，翻看这一页的页码……数字的身影随处可见！但是，数学家理解的数字与我们在日常生活中使用的数字具有完全不同的性质，在这个看似微不足道的问题上稍事停留不无用处：数字究竟是什么？
如果我们从纯语法的角度提出这个问题，那么在包括法语在内的大多数语言中，数字大多是形容词。也就是说，它们与名词相结合来指称后者的数量，就像其他的形容词可以表示颜色、形状或其他特征一样。数字可以计数。一个数字应是某样东西的数量。例如，如果我告诉你这个句子里有 74 个元音和 103 个辅音（注：这是确切无误的。（译者注：法语原文如此。）），那么形容词数字“74”和“103”就是用来确指名词“元音”和“辅音”的。它们只有通过和相关名词相结合才会具有意义。
在几种罕见的语言中，数字被赋予了不同的地位。比如，在古毛利语中，数量被视作动词，也就是说，被当作主语的动作而不是被动的特征。如果法语和数字建立的是这种关系，那么大仲马的《三个火枪手》就会改名为《数三火枪手》（但实际上是“数四”，因为还有达塔尼昂），《海底两万里》中儒勒·凡尔纳笔下的尼莫船长就会成为《海底数两万里》的主角，而我呢，就该告诉你这个句子“数三百零四”个字母。如果我们在每种以此方式构建起来的语言中思考数量，那么我们与数字的关系就会被彻底改变。
但这种角度与数学家采取的角度又有所不同。对于数学家而言，数字既不是形容词也不是动词，它们是名词。在数学世界中，占据主导地位的是数字。一个数字不是一个“什么东西的数量”。三不是“三天”的三，不是“三公里”的三，也不是“无论什么三”的三；三就是三，别无其他。
美索不达米亚的学者是最早选择踏上这条道路的人，他们让数字脱离了其所数的对象。对于那些我们在尼普尔碰到的书吏而言，数字十二就这么被写了出来： 公式图 。无论用它来数羊还是数牛，或是数什么其他的东西，全都不重要。但情况并非总是如此。在文字出现的时候，“十二只羊”的十二和“十二头牛”的十二，写法并不一样。这个抽象的第一阶段标志着数学当仁不让成为一门独立科学的转折点。
在第二个阶段，科学家逐渐开始使用这些数字，他们甚至不需要用这些数字去数些什么。十二可以就是十二，无须数什么东西。这一阶段细微而精妙，将需要数千年才会得以成熟和演进。
即使是在今天，大多数人也只是将数字看作数量。如果我跟你说 3+5=8，你很可能会认为这个等式表示的是“三个什么东西”加上“五个什么东西”等于“八个什么东西”。诚然，我们没有必要知道这些“东西”是什么，但也很难想象根本就没有什么“东西”。在我们的头脑中，数字继续被解读为数量。但是，等式 3+5=8 完全可以被看作数学世界的一种简单事实，而不一定要把它和某些实际的东西联系起来。
这种观念既精妙又强大，正是在这种抽象的自由中，数字才能绽放出所有的潜能。让我们通过练习去驯服本真的数字吧，它将展现出尼普尔书吏们远远无法想象的力量。
要测量数字涵盖的范围，从一些具体的示例入手会很有用。我们就来说说食物。牡蛎和意大利面有一个共同之处，那就是，它们都有不同的大小，这些大小通常是以数字标度来表示的。但是，这两个标度之间存在一个重大的差异：衡量标准不同。小数字指称较大的牡蛎和较细的意大利面（图 2.4）。
这些颠倒的分度令人困惑，如果你和我一样执着于让事物保持井井有条的话，这甚至会让人恼火。我们想让那些给食物编号的人彼此达成共识。但是想想看：这两种编号取向，哪一种对你来说更自然呢？如果可以改变两种标度中的一个，你会选择改变牡蛎的标度还是意大利面的标度呢？
奇怪的是，向不同的人提出这个问题，答案也不尽相同（注：在作者于 2019 年 4 月对某社交网站用户进行的一项非正式调查中，5700 名受调对象中有 63% 的人表示意大利面的编号更加自然，认为牡蛎的编号更加自然的人则占 19%，18% 的人未予评论。）。这两种编号对应两种不同的心态，没有任何一种敢说在客观上比另一种更好。对于意大利面来说，数字与粗细直接相关。如果面条更粗，数字也就越大，这似乎很合逻辑。而牡蛎则按名次的高低编号。在一项比赛中，站在领奖台 1 号台阶上的比站在 2 号台阶上的名次要高，尽管数字 1 比数字 2 要小。因此，1 号牡蛎的个头更大，其名次也就高于 2 号牡蛎和 3 号牡蛎。
仔细想想这一点，我们可以将问题推进一步，可以说，食物编号的主观性体现出了它们的欺骗性。这是一些伪数字，也就是说，这些数字并不需要是数量。它们只是被用来表示一种模糊的标度，而与它们的值没有必要的关联。比如，找出它们的对数是毫无意义的。一只 2 号牡蛎和一只 3 号牡蛎加在一起与一只 5 号牡蛎毫无关联，而且其口径也会因种类的不同而不同：一只 2 号平牡蛎和一只 2 号长牡蛎的重量会不一样。意大利面的编号也没有统一的标准，不同品牌使用的标准并不完全一样。
老实说，我们日常生活中的很多数字完全不需要成为“数量”才能发挥它们的作用。很多数字是纯主观选择的结果。街道两旁房屋的编号、市镇的邮政编码、社保号码、电话号码，所有这些数字都可以由任意的字母或符号来替代。我们可能住在邮政编码是 URFKH 的某个市镇的 G 号楼，把我们以 TL 开头而不是 06（注：法国的手机号码以 06 开头。——译者注） 开头的手机号码告诉朋友。这完全不会影响我们对这些信息的使用。
在如此琐碎凡常的情况中去发掘这样一个微妙而强大的数学概念，会让人感到几乎是在浪费精力。另外，确实有一些分度使用的并不是数字标度。音符本来可以被命名为 1、2、3、4、5、6、7，但我们将其称为 do、re、mi、fa、so、la、si。汽车牌照既用字母也用数字。衣服的尺码通常用 S、M、L、XL 来表示，尽管它们有被数字取代的趋势。
但出现在非必要情况下的数字分度有一个作用：向我们证实数字可以摆脱数量。这些数字没有计数的功能。电话号码或社保号码并不是“什么东西的数量”。这一被解除的束缚就是数字身份的根本所在。
温度的例子更加引人入胜。1742 年，瑞典天文学家安德斯·摄尔修斯(Anders Celsius)为自己的气象研究设计了一种新型温度计，并获得了巨大的成功，他的名字也被用作这种温度计温标的单位，称为“摄氏度”。时至今日，绝大多数温度计以摄氏度为单位。
但有一件事很奇怪：摄尔修斯温度计的刻度和我们现在使用的温度计的刻度相反。对这位瑞典科学家来说，温度越高，物体就越冷！其温标规定，水在 100℃ 结冰，在 0℃ 沸腾。我们已经习惯从相反的角度去看待事物，以至于这种方法除了让人感到困惑之外，还会让人觉得是完全错误的。但请思考片刻：你能提供任何论据来证明，温度随热度升高要比温度随冷度升高更确切吗？分度的意义不过是随意选择的结果，我们应该抛开成见。
很多例子可以颠覆我们的习惯。在南半球的一些国家，比如澳大利亚或新西兰，你会在一些地图上看到北是朝下的。一个北半球的人在查看这样的地图时很难不感到困惑，而且我们的大脑几乎会自动地反转这种图像。同样，第一次翻开一本日本漫画的新手读者也会感到不习惯，因为他得从本应是结尾的地方开始阅读。而当你在阅读法文版漫画的时候，会需要一些时间才能习惯用与我们的阅读习惯相反的方式去翻页。
你可能还会惊讶地发现，“这行字是用牛耕式转行书写法写的，说是就也”，要用蛇形方式来念：一行从左往右念，下一行从右往左念（图 2.5）。不同的古代语言，比如古希腊语或伊特鲁里亚语，最初采用的都是牛耕式转行书写法。
但让我们再回到温度的问题上来。鉴于我们用数字来测量温度，因此，我们有理由自问是否可以换一种方式测量。我们是否可以无差别地使用字母或另一种特定的标度？毕竟，如果你把一锅 10℃ 的水倒入一锅 20℃ 的水中，不必尝试做加法，你永远也不会得到一锅 30℃ 的水！混合的水，其温度会是约 15℃，介于两锅水的温度之间。我们在混合之前分别得到的 20℃ 和 10℃ 去哪儿了呢？它们怎么会消失了呢？我们只不过把锅里的东西合在了一起，并没有去掉其中的任何东西呀。这些操作似乎与最基本的算术法则相悖。我们在说到 20℃ 的水时，实际上并不能数出二十个单位。你不可能说这是一度，这是两度，直到二十度。显然，摄尔修斯的标度并不是在计数。
这位瑞典科学家读数颠倒的温度计成了一个补充性的证据：如果标度保持不变，则两锅水的温度分别会是 80℃ 和 90℃，而两锅水的混合物的温度则会是 85℃。但是，这些测量的精准度不会低于我们的测量的精准度。
然而，即使这些数字不是在计数，但值得注意的是，它们仍然保有数学的关系。两锅同等体积的水的混合物，其温度将等于初始温度的平均值。10 和 20 的平均值等于 15。而且，值得注意的是，这一平均值在摄尔修斯颠倒的标度中仍然有效：80 和 90 的平均值等于 85，而颠倒过来的 85℃ 对应的正是 15℃。可以这样说，颠倒数的平均值等于平均值的颠倒数。
平均值通过标度的颠倒保持不变。因此，这个平均值能够与温度可能具有的不同定义完美兼容。无论你是用摄尔修斯颠倒的标度、我们目前的标度，还是像美国人那样以华氏度为单位，或是像热力学家那样以开尔文为单位，混合物的温度都是平均温度。
这一观察结果至关重要。它告诉我们，即便温度不是数量，也有可能并且有必要能够用它们进行计算，这就充分证明了把它们当成数字的合理性。数字可以不是“什么的数量”，无论如何都完全配得上数学对象的地位。
如今，不表示数量的数字已经在科学中无所不在，并成为现代技术的必不可少之物。我们的计算机和智能手机中所有的内容都是数字的，也就是说，这些内容是以数字的形式存储在设备内存中的。对于一台计算机而言，一幅图像就是一串数字，一段音乐就是一串数字，你正在看的这本书在印刷成册之前，也是一串存储在计算机硬盘上的数字。而在撰写这本书的过程中，我每在键盘上输入一个字母，这个数都会改变。就在我写下这几行字的时候，这个数的值约为 10¹⁰⁰⁰⁰⁰，也就是说，这是一个有十万位数字的数（注：我无法在这里把完整的数写给你看，因为这个数会跟这本书的篇幅一样长，那么本书的页数就得翻倍了。）。在这本书写完的时候，这个数的位数将会翻三倍，也就是约为 10³⁰⁰⁰⁰⁰。
通过数字化的过程，任何创意活动都可以简化为以下这个简单的任务：找到数字。
当然，我们的技术设备会尽可能让这一过程在我们的眼中变得透明。我们看不到这个过程，但设备却在进行计算。想象一下，一位音乐家分别录制了一段乐曲中不同乐器的演奏片段，然后想把这些片段合成一条音轨。在使用混音软件时，这位音乐家会觉得自己只是把鼓、贝斯和吉他的声音叠加在了一起，但在内部，对他的计算机而言，这些声音就是数字，而这些数字的叠加是一种数学运算。最终的数字将是鼓的数字、贝斯的数字和吉他的数字的平均值。
如果你在进行图像编辑、视频剪辑、文字处理或所有你能想到可以用计算机做的事情，那么情况都会是如此。在你进行创作时，你的计算机在做数学运算。计算机使用的数字不是用来计数的，这些数字不是数量，它们只是可以根据不同情境来加以解读的数字，就像文本、照片或音乐。
知道如何讨论理想对象而不必知道如何将它们与它们所源自的具体情况相联系，这就是数学的伟大力量。先把我们可能对数字做出的解读放在一边，然后把注意力集中在数字的内在特性上。无论这些数字意味着什么，甚至无论这些数字是否意味着什么，我们都可以对它们进行一番研究。