很抱歉，在这样一番目眩神迷之后，我不得不把大家再次带回到地球上。我们或许激动得过早了点儿。
所有这些关于掉落的月球和旋转的苹果的推论让人万分欣喜，但我们应该警惕自己对它们的笃信程度超出合理范围的冲动。一种科学理论要变得有效，就必须精确且可以验证。“凡旋转的都在掉落”，听起来很美好，实则含混不清。当然，牛顿认识到了这一点，但他也不是随随便便就说出这些话的。作为一名专业人士，他对引力做出了全盘数学化的处理，以便量化他所描述的现象，使之能够与现实进行比照。
在《原理》中，这位英国科学家写道，引力取决于两件事：物体的质量和物体间的距离。掌握了这些信息，你就可以通过一个数学方程来计算这个力[¹]。物体的质量越大且彼此距离越近，这个力就越强；物体的质量越小且彼此距离越远，这个力就越弱。几个世纪后，科学界用这位英国科学家的名字命名了这些力的计量单位，以表达对他的敬意。在地球表面，物体受到的引力约为每千克 10 牛顿。照此，如果你的体重是 60 千克，那么你在地球上受到的引力就是 600 牛顿。在月球上，引力会是地球上引力的六分之一。如果你到月球上走一遭，那么你在那里受到的引力就约为 100 牛顿。
在了解了物体所受的引力之后，剩下的问题就是，这些力对物体的速度和位置有什么影响。如何对一条轨道进行具体的计算？为了回答这个问题，牛顿将再次运用他所有的创造力和打破桎梏的能力。
列出《原理》中的所有天才想法，会是一件漫长而乏味的事情。牛顿在《原理》中发明了崭新而优雅的数学，与之相比，“4 月 34 号”和负数就是小小的练习。他最杰出的成就之一，就是对速度观念的模型化。对此稍作讨论会很有意思。
让我们举个例子。如果你有一辆汽车，那么你肯定知道汽车仪表盘上有一个转速表。当汽车停止时，转速表的读数为 0 千米 / 时，你开车的速度越快，转速表上显示的数字就越大。但当你向后行驶的时候会发生什么呢？很可惜，没有什么不同。在大多数汽车上，转速表无法区分向前行驶和向后行驶。但请你稍事思考：你难道不觉得，转速表在倒挡时显示一个负数会更令人满意吗？比如，你目前的行驶速度是 -10 千米 / 时。
这可能看起来有些奇怪，但说到底，这就类似于海平面以下的海拔的原理。经过我们之前的所有思考，这个想法应该不会让你感到太过惊讶。如果你以 30 千米 / 时的速度（向前）行驶一个小时，然后再以 -10 千米 / 时的速度（向后）行驶一个小时，那么你就相当于向前行驶了 20 千米。既然 30 与 -10 之和等于 20，那么这就是成立的！诚然，这种看待事物的方式对于驾驶来说毫无用处，但对于那些想要进行数学计算的人来说却是非常有趣的。
相反方向的行驶速度可以一个为正、一个为负，这一想法将成为牛顿的灵感之源，但这还不够。与仅表示向上或向下距离的海拔不同，速度可以朝向任何方向。因此，只用负数是不够的，从某种意义上来说，你需要一整类数。一个向南的速度应该同时是向北速度的负数，而一个向西的速度同样应该是向东速度的负数，依此类推。
牛顿选择用一种从未在天文学上使用过的数学概念将其模型化，而今天，我们把这一概念称为向量。向量，从某种意义上来说，就是一种带有指南针的数。如果你把一个向西的数和一个向南的数加起来，就会获得一个向西南的数。很抽象，但行得通！得益于这种表述和其他一些描述，一切都奇迹般地进展顺利。牛顿成功地用简明而优雅的数学对引力做出了描述。现在，他可以计算苹果、月球、行星和所有受到引力的物体的轨道了。
雨中漫步尽管迷人，但总有收起雨伞的时候。牛顿的理论如此美丽，让人几乎不想从中走出来。
尽管创立牛顿理论是为了描绘我们观察的这个宇宙，但《原理》中提出的理论不过是个彻头彻尾的虚构世界。在这个数学的世界里，苹果掉落，行星转动，海洋涨潮又落潮。这些与现实相符的现象令人安心，它们告诉我们，模型是可信的。但为了让这种模型更加稳固，现在就该把它逼入死角。我们现在面对的就是第三阶段，这或许是最为棘手的一个阶段：回归现实。
在过去，很多伟大的智者曾设想出非常优雅的理论，但这些理论却被证明是不够确切的。因此，开普勒尽管拥有出色的直觉，却不知道如何把这些直觉正确地转换为数学。在 1596 年出版的著作《宇宙的奥秘》(Mysterium Cosmographicum)中，他曾想象行星到太阳的距离会构成五个完美的柏拉图立体（注：这五个立体分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。这些是仅有的完全规则的多面体。柏拉图已经用它们描述过宇宙的形状和四种元素（水、气、火和土）。）（图 2.15）。这一想象很美，却是错误的。尽管开普勒已经尽力，但他的模型从未能与天文学的测量值相匹配。
现实的回应可能会是相反的，人们要做好面对困难的准备。世界可能会说“不”。理论对世界的粗略描述是不够的，它必须尽可能忠实地融入现实中。月球绕地球一周需要 27 天。如果经过计算，你的理论认为月球绕地球一周需要 35 天，那么你的理论就是错的。你必须对这个理论进行加工，如果无法加工，那就放弃它。事实胜于雄辩。你的理论可以富丽堂皇，满是强大而令人信服的论据，处处可见华丽的数学证明，但如果现实说了“不”，那就是“不”。
在 17 世纪初，伽利略在比萨斜塔进行了一系列关于物体自由下落的实验。1604 年，这些实验让他发现了匀加速运动的定律。一个落体的下落速度会以以下方式越来越快：一秒后，落体的速度达到了每秒 10 米；两秒后达到每秒 20 米；三秒后达到每秒 30 米，依此类推，直到落体撞到地面。这个每秒 10 米的速度（注：更确切地说，是 9.807 米 / 秒，尽管这个数值会根据我们在地球上所处的位置而略有不同。） 通常记为 g，经常被用作加速度的度量单位。一辆赛车能够在一秒内达到每秒 40 米（也就是 144 千米 / 时）的速度，其加速度为 4g。
有了牛顿的理论，就可以重复比萨斜塔的实验了，只不过是从数学世界的角度。奇迹出现了——行得通！《原理》中的计算得出了相同的结果。落体的速度每秒增加 10 米。牛顿“制造”的自由落体与伽利略观察到的真实自由落体分毫不差。第一次有效性验证结果：成功。
这一理论在地球上得到了证实，接下来应该到天空中去了。
在《新天文学》中，开普勒还关注了行星的轨迹，发现了一件惊人的事情。和所有人在此前所认为的相反，这些行星的轨道并不是圆形的，而是椭圆形的，也就是一种或多或少被压扁的圆环（图 2.16）。一方面，对于行星而言，这些椭圆形轨道被压扁的程度很轻，这就解释了为什么只要测量的精准度不够，它们就会被当成圆环。另一方面，对于彗星而言，这些椭圆形轨道则被拉伸得很长。
牛顿的理论让精确计算行星轨道的形状成为可能。那么猜猜看，那会是什么形状？椭圆形！还有更妙的：无论在形状上，还是在行进速度上，它们都是与观察结果完美契合的椭圆形。例如，彗星在距离太阳近的时候，速度要比距离太阳远的时候更快。天文学家已经在天空中观察到了这个现象。通过计算，牛顿在自己的笔尖下看到了这个现象。
原谅我一再强调，但想要领略牛顿理论的所有伟大之处，就必须意识到他的预测有多么精准。随着测量工具技术的进步，并借助纳皮尔“刚刚”发明的对数，17 世纪的天文学家能够以一弧秒的精确度定位某些天体。也就是说，这些天体在天空中位置的误差范围要小于 15 米外一根头发的粗细！而《原理》中的计算就达到了这种准确度。如果牛顿说在某一天的某个时间，火星将会位于天空的某个位置，那么天文学家们在牛顿所说的那一天的那个时间把他们的仪器指向牛顿所说的那个位置，就会看到那个红色的星球，而且它的实际位置与理论预测的位置之间不会出现任何可测的误差！
这就是引力理论。
1781 年，天文学家威廉·赫歇尔(William Herschel)在天空中发现了一个未知的天体。但这个物体因为太远而模糊不清，赫歇尔甚至无法自行确定那是一片星云还是一颗彗星。于是，他把自己的发现通报给其他天文学会，然后这些学会开始研究这个新天体和它的轨迹。但天文学会的计算行不通。根据牛顿的理论，这个物体既不是彗星，也不是星云。它更不是一颗恒星。
我们的天文学家想到了另一种可能：那会不会是一颗行星呢？这一次，计算行得通了。这个物体沿着一条几近圆形的椭圆形轨道绕着太阳运动。天文学界沸腾了。到那时为止，已知的六颗行星都是肉眼可见的，而且总能观察得到。科学第一次发现了一颗新的行星——第七颗。它被命名为天王星。
但这个故事还没完。世界各地的天文学家都把望远镜瞄向了天王星，进行了更为精准的测量。然后他们发现，与之前得到的结果相反，天王星的轨迹并不完全与数学预测相符。其实际的轨迹与理论上的轨迹略有偏差。这种差异没有大到足以让人去质疑它行星的身份，却足以让人感到不安。要是牛顿的理论抵达了它的极限，该怎么办呢？要是这一理论就像之前的系统那样只是“相对准确”的，而且是时候重新审视它了，该怎么办呢？
天王星轨迹的偏差引发了很多论战，很多天文学家无法接受牛顿理论的崩塌。一个新的假设出现了：要是测量到的偏差是由（仍然未知的）第八颗行星引起的，而且这第八颗行星通过自身的引力改变了天王星的轨迹呢？在巴黎天文台，天文学家于尔班·勒威耶(Urbain Le Verrier)对此坚信不疑，并着手计算这颗可能存在的行星的位置。1846 年 8 月，他把计算结果提交给法国科学院，但院士们对他的结果并没有表现出太大的热情，也没有对他予以太多的关注。于是，勒威耶决定把计算结果寄给他在德国的一位熟人——柏林天文台的天文学家约翰·伽勒(Johann Galle)。伽勒在 1846 年 9 月 23 日收到勒威耶的信函。当天晚上，伽勒就把望远镜对准了勒威耶告知的方向。午夜过后几分钟，伽勒看到了海王星。
这就是引力理论。
[1] 这是科学史上最著名的方程之一： 公式图 。换言之，力 F 由引力常数 G（其值约为 0.00000000007）乘以相互吸引的两个物体的质量（以千克为单位），再除以这两个物体的距离（以米为单位）的平方算得。
