2007 年 9 月 14 日，居住在亚拉巴马州的 31 岁美国人杰里米·哈珀(Jeremy Harper)入选《吉尼斯世界纪录大全》，因为他是第一个一次性从 1 数到 100 万的人。他在互联网上直播了自己从 2007 年 6 月 18 日开始的数数过程。在 89 天里，哈珀待在家中，在几平方米大的起居室里来回踱步，以一种几乎是唱念的方式不知疲倦地数着连绵不绝的一个个整数。
似乎没有人会在某天决定花时间从 1 数到 1000 万。这么做所需的时间要比哈珀所用的时间大约长 10 倍，相当于在两年半里，白天除了数数什么都不做。想要数到一亿，就需要 25 年；想要数到十亿，就需要两个半世纪。当然，这一切的前提条件是挑战者能够保持与哈珀一样的数数进度，也就是每天用 16 个小时去数数。
这些 1 后面跟着一串 0 的整数按照乘法一级级递增，因而每打破一次纪录都会比上一次难上 10 倍。我们把这些数称为 10 的次方。一百万，1000000，写成 10⁶（读作十的六次方），因为它有 6 个零；十亿，1000000000，有 9 个零，写成 10⁹（读作十的九次方），依此类推。依照 10 的次方这个长长的列表得到的数如此巨大，以至于我们的大脑很快就无法以正确的方式去想象它们了。
杰里米·哈珀在创下纪录的时候年龄约为 10 亿秒，也就是 31 岁。构成人体的细胞约有一百万亿个，也就是 10¹⁴个。世界上所有的海洋里有 30 尧滴水，也就是 3×10²⁵ 滴。组成太阳的原子数量是 1 后面跟着 57 个零，也就是 10⁵⁷。而从地球上可以看到的整个宇宙，再加上所有遥远的星星和星系，它们所包含的基本粒子的数量估计约为 1 后面跟着 80 个零，也就是 10⁸⁰！
只有 10⁸⁰ 吗？在那些还不习惯 10 的次方式指数增长的人眼中，这个数字似乎并没有那么大。这种印象主要是由我们思维中加法量级和乘法量级之间的差异造成的。尽管 10⁸⁰ 的写法很简洁，但这个数非常巨大。
在所有掌握先进数学知识的文明中，古印度人很早就和大数建立了一种特殊的关系。从公元前 3 世纪开始，并在此后的一千年中，几代学者都参与到“谁的大数更大”的疯狂竞赛中。竞赛不断升级，而参与者的动机不仅仅是科学的，也是诗意的和宗教的。学者们出于游戏和挑战发明出大数，为的是给人一种头晕目眩的感觉，以及尝试接近超越我们认知的事物。
在《普曜经》(Lalitavistara Sutra)——一部讲述佛陀伟业的 3 世纪佛教典籍中，我们会看到一个名叫“paduma”的数，它等于 10²⁹，用来计算山中沙粒的数量。我们还会看到“kâtha”和“asankhya”，前者用来计算星星的数量，后者用来计算全世界一万年间落下的雨滴的数量。有一天，佛陀见到了算术家阿周那(Arjuna)，他向阿周那详细解释了巨大乘法量级的运作方式。从等于一千万的“koti”开始，佛陀展开了一个数字环，环上的每个数都是前一个的 100 倍：100 个“koti”叫作“ayuta”，100 个“ayuta”叫作“niyuta”，100 个“niyuta”叫作“kankara”，依此类推。连绵不绝的数字持续了数十行，一直达到令人眼花缭乱的 10⁴²¹，佛陀说这个数可以用来计算最细小原子的微粒，这就是“paramânus”。
3 世纪的古印度学者已经在考虑有关宇宙中基本粒子的数量问题了，这实在让人惊讶，而更让人惊讶的是，他们计数的错误之处并不在于数量上不够，而是在于数量上过多。我们今天所知道的 10⁸⁰，在数量上和佛陀的“paramânus”相比，绝对是小之又小。
古印度人并不是唯一热衷于大数的人。尽管他们或许是最擅长把玩大数的人，但是，我们在中国和古希腊文化中也可以找到不断推高 10 的次方的大数。然而，必须承认，这种对大数的追寻如果和宗教或哲学探索无关的话，那么就没有多少数学家会对它感兴趣。你可以沉醉在这些数的宏大之中，并在面对它们的巨量时假意瑟瑟发抖，但除此之外，这些数几乎没有什么实际用途。从文艺复兴时期开始，欧洲的学者似乎对大数毫不关心，直到 20 世纪，大数的竞赛才真正再次兴起。
1940 年，数学家爱德华·卡斯纳(Edward Kasner)和詹姆斯·纽曼(James Newman)出版了一本名为《数学与想象》(Mathematics and the Imagination)的书，他们在书中讨论了一个巨大无比的数——10¹⁰⁰。1 个“一”后面跟着 100 个“零”的数。
10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
尽管这个数仍然比佛陀的那些数要小，但它已经超出了我们的想象。现在想想十亿个奥运会游泳池里水滴的数量。想象一下，这些游泳池里的每一滴水都是一个完整的宇宙。10¹⁰⁰ 对应所有这些宇宙加在一起所包含的基本微粒的数量！卡斯纳决定把这个数叫作“古戈尔”(googol)。这个词是他 9 岁的外甥创造出来的，后来成了企业家谢尔盖·布林(Sergey Brin)和拉里·佩奇(Larry Page)的灵感之源。当年，两人创建了一个用于信息搜索的网站，也就是后来的谷歌(Google)。
在《数学与想象》中，卡斯纳和纽曼又推进了一步，创造出另一个被他们称为“古戈尔普勒克斯”(googolplex)的数，相当于 10googol，也就是 1 后面跟着古戈尔个 0！因此，古戈尔普勒克斯表示的数量比宇宙中基本微粒的数量还要多。这一次，佛陀被超越了，这个数的值绝对超出了我们所有的想象。如果有一本巨大无朋的书，书页的大小和可见宇宙一样大[¹]，但书中文字并不比你眼前的这些文字更大，那么这本书还是写不下古戈尔普勒克斯的完整位数的。注意：我们在此谈论的不是这个数的值，而只是写下这个数所需的空间。就像十亿(1000000000)需要写下 10 个数字一样，写完一个古戈尔普勒克斯所需的空间超过了一个宇宙的大小！
在日常用语中，“无穷大”和“非常大”常常会被混为一谈。老实说，当你跟人聊天并听到“无穷大”这个词时，我敢打赌，它是被过度使用了，应该用诸如“巨大”或“超级大”这类更适度的形容词来替代它。在这一点上，古印度的学者们自己就表述得并不十分清楚。他们使用的词语“asamkhyeya”，字面意思是“无法计算的”或“无穷大的”，但在 10 的次方的量级中，这个词相当于……10¹⁴⁰！
卡斯纳和纽曼的古戈尔普勒克斯如此之大，让人忍不住将它称为无穷大。说实话，如果你试着集中精力去想某个无穷大的东西，那么可以肯定，你脑海中所描绘的那个东西要远远小于古戈尔普勒克斯。我们的大脑还没有做好准备去接受如此巨大的数量，这就是为什么我们必须警惕自己的直觉，并把自己的信任交托给推理和数学。
在公元前 3 世纪的西西里岛，一位名叫阿基米德的数学家已经断言，必须对“无穷大”和“非常大”做出区分。他在一部名为《数沙者》(The Sand Reckoner)的论著中解释说，和他的很多同代人所认为的相反，地球上沙粒的数量并不是一个无穷大的数。这位古希腊学者详细地描述了 10 的次方量级的构成，并表明，如果用沙粒将整个地球填满，那么地球所包含沙粒的数量是不会超过 10⁶³ 的。当然了，阿基米德的计算并不精确，因为他对宇宙真实维度的了解是有限的。但是，不管结果够不够精确，最重要的是他的结论：沙粒的数量非常大，但不是无穷大！
即使是在今天，我们周围仍然存在很多可能会被认为是无穷大的事物，但事实并非如此。就以文学为例。我们很容易认为，作家的想象力可以到达一个无穷大的探索领域。但想想，作家能够在一本书中讲述所有故事，但只有其中很小一部分被写了出来。一个面对空白纸页的作家是不受任何限制的，他 / 她可以按照自己的意愿创造出各种各样的世界，故事可以发生在过去、现在、未来，或现实之外的某个时间，这些故事也可以发生在任何国家、任何星球，或在某个纯粹虚构的地方，不受任何限制。可能性似乎完全是无穷大的。
但是，让我们换一个角度去看。任何图书都是由数量有限的字符组成的，这些字符属于某个由数量有限的字母构成的字母表。如果一位作者想要写一本有 600000 个字符的书，那么每一个字符只可能是从 A 到 Z 的 26 个字母之一或标点符号，因此，这 600000 个字符中的每个字符只有约五十种可能的选择。有了这两个数据，我们就有可能以数学的方式计算出产生不同图书的数量[²]。我们会得到 10¹⁰¹⁹³⁸²。当然了，这一组合的数量非常之大，大到无法想象，但它并不是无穷大。
想象一座神话般的图书馆里收藏了所有这些书（图 3.3）。所有可能存在的图书都任人取用。书中包括所有已经写出来的故事、某天将会写出来的故事，以及永远不会写出来的故事。比如，我们会在其中找到阿加莎·克里斯蒂笔下的《波洛探案集》、弗兰克·本福特关于反常数定律的文章、将在十年后获得龚古尔文学奖的著作，甚至还有“阿基迷德”遗失著作的译本——在这座图书馆的书架上，我们还可以看到本书的修订版，里面改正了上述中“阿基米德”的错误写法。
即便是“600000 个字符”这一任意范围也不一定就给出了限定。超出这个范围的著作不过是分成了若干卷，但在这座图书馆的书架上也可以找得到。比如牛顿的《原理》和夏特莱侯爵夫人翻译的法文版、《指环王》三部曲或倒过来写的七卷本《哈利·波特》。
重要的是，这座图书馆不仅收藏了具有含义的书，还有那些充满着一串串毫无意义的字符的书。比如一本只有 600000 个一连串的“ZZZ ZZZ ZZZ ZZZ...”的书，或是用其他字符完全以随机方式写成的书，比如“FH WHAWH HVW SDUIDLWHPHQW DOHDWR LUH...”。老实说，这 10¹⁰¹⁹³⁸² 本书中的绝大部分是这样的书。如果从书架上随机抽出一本翻开，你很可能会看到如此这般一连串毫不相干的字符。这座图书馆收藏了具有含义的书，但数量很少。
数学虽然是确切的科学，但要接受一座并非无限的图书馆能够容纳所有可能存在的书，确实是一件非常复杂的事情。这种困难只有一个解释：数字 10¹⁰¹⁹³⁸² 确实非常非常之大，大到我们无法领会它的完整测度。它远远大于佛陀的所有数字，也远远大于卡斯纳和纽曼的古戈尔，因此，也远远大于我们宇宙中基本微粒的数量。而且，这一点表明，这座想象的图书馆在实际中是完全不可能存在的——只因为我们在整个宇宙中没有足够的材料来制作所有这些书籍！但需要注意的是，尽管 10¹⁰¹⁹³⁸² 看起来大得难以置信，但它比古戈尔普勒克斯要小得多！在数学的创造潜能面前，我们之前提到过的无穷大实际上是微不足道的。
这些计算直捣人心，它们就艺术创造的本质向我们发出了声声考问。撰写书籍究竟是发明还是发现？一个作家能否声称自己创造了什么？因为他 / 她出版的每一本书都不过是数学的抽象巨型图书馆中业已存在的某一本书的有形实现。
这一推理可以应用于所有的领域。想想看，比方说，你的计算机里的所有文件都是数。这些数并非无穷大，因为你的硬盘内存是某个数量的 GB。音乐、图像、电影和很多其他类型的文件，无论它们有多大，都无法被描述为无穷大。收藏了所有书籍的巨型图书馆不过是一个巨大的多媒体库，里面已经包含了人类可能创造的一切。
我们就以图像为例。数码相机就像你的眼睛，无法捕捉到无穷无尽的不同颜色和形状。数码相机受限于像素，人眼受限于视网膜中数量有限的感光细胞。诚然，在正常的一生中，一个人永远无法看到两次完全相同的事物，场景总会发生微小的变化。但如果你获得了永生，情况就会大不相同。你的眼睛可能看到的潜在图像的数量会是巨大的，但仍是有限的，而当你达到了一个非常大的年龄时，你就注定只能看到那些你已经见过的事物。
你听到、尝到、闻到甚至感觉到的所有事物都是如此。更迭不可能是无限的，创意不可能是无限的。哦，当然了，在这种情况发生之前，会经过一段无比漫长的时间，比你所能想象到的任何时间都要长。这段时间如此之长，甚至自宇宙大爆炸之后流逝的 138 亿年和它比起来都像是几分之一秒。这段时间如此漫长，但也不是无穷大。
[1] 也就是将近一尧(10²⁴)公里。
[2] 由各有 50 种选择的 600000 个字符组成的文本数，计算结果为 50⁶⁰⁰⁰⁰⁰ ≈ 10¹⁰¹⁹³⁸²，相当于 1 后面跟了 1019382 个零。