公元前 9 世纪，腓尼基国王贝鲁斯(Bélos)统治着位于今天黎巴嫩沿海地区的泰尔。贝鲁斯去世后，他的小儿子皮格马利翁(Pygmalion)无意与任何人分享权力，并让人暗杀了姐姐狄多(Dido)的丈夫西谢（Sychée（注：即阿克尔巴斯(Acerbas)。——译者注））。狄多被迫带着几名忠诚的随从流亡，并开始了在地中海上的漫漫航行。
当船只最终抵达今天的突尼斯湾地区时，狄多一行人登岸，这位腓尼基公主为了在此地落脚而与当地领主进行了谈判。这些领主同意给她一块一张牛皮可以丈量过来的土地。领主们或许正为此暗自讪笑，但狄多接受了这个提议，并命人把牛皮切成尽可能薄和长的皮条。
结果让这群领主瞠目结舌。牛皮条圈出的面积如此之大，大到狄多可以在上面建立一座新的城池。这就是迦太基城。
如果我们透过几何的角度来观察的话，维吉尔(Virgile)在《埃涅阿斯纪》(Aeneid)中讲述的这个故事就会特别具有启发性。一块牛皮的面积约为 2 平方米，而我们今天在突尼斯以东仍然可以看到的古迦太基城遗址绵延 4 平方千米！
狄多的冒险完美地展现了两个微妙的基础概念之间令人惊讶的关系，这两个概念就是周长和面积。看看图 3.13 中的这两块地。
第一块地的面积要比第二块地的面积大，但第二块地的周长要更长。尽管这两个量度以各自的方式诠释了图形的大小，结果却并不一致。如果让一名运动员沿着两块地的四边跑一圈，那么跑完第一块地的用时会更短。但如果让一位园丁修剪这两块地上的草坪，那么修剪第二块地的用时会更短。
这种比较会让人再次想到加法和乘法之间的对比。“这两个图形哪个更大？”这个问题有两种不同的回答方式，而且根据具体的情境，两种回答中会有一种更贴切。在某些“比大小”的情况中，这两个概念会得出颇为一致的结论，但在一些特殊的情况中，结论可能会有根本性的分歧，就像我们在图 3.14 中所看到的。
这就是狄多悖论的关键所在。这位腓尼基公主并没有用牛皮覆盖迦太基的面积，而是用一条轮廓线围出了它的面积。一张牛皮，从面积上来看并不大，但从周长上来看却潜力巨大。一个平面图形无论多么小，都可以通过足够细的切割产生相当可观的轮廓线。
海岸线悖论在本质上与狄多悖论非常相似。海岸线和边境线在面积上被包含在有限的领土中，但它们的长度却是无穷大的。如果把英国的海岸线展开，其长度绝对可以绕地球一周。当我们面对理查森效应的发现时，可能和突尼斯湾的领主们在看到狄多展开牛皮条时一样困惑。
迦太基建城的传说可以追溯到大约三千年前，但其中蕴含的数学思考却在很长一段时间内都没有引起任何人的真正关注。面积和周长的区别，几何学家当然已经了解和掌握了。但在当时，人们对这个问题只有单纯的好奇，并不觉得它有太大的挑战性，没有真正投以关注。直到 19 世纪末，一些科学家才开始以新的眼光去看待这个问题。
1890 年，意大利神学家朱塞佩·佩亚诺(Giuseppe Peano)发表了一篇名为《论能够填满平面区域的曲线》(“Sur une courbe qui remplit toute une aire plane”)的文章（注：此文用法语写成。虽然佩亚诺是在 19 世纪的意大利都灵撰写的这篇文章，但法语和德语一样，在当年是一种“数学的语言”，就像今天的英语。）。他在文中展示了一种可以把狄多的想法推进到无穷的几何构造。佩亚诺的想法是通过逐步绘制的过程来构造一条线。其中第 1 步非常简单，就是画一个直角“2”字形（图 3.15）。
在第 2 步，佩亚诺用交替的“2”字形和“5”字形（即“2”字形的对称图形）填充成一个 3×3 的网格，然后把它们彼此连接起来（图 3.16）。
依此类推，每一步都以同样的过程由上一步推导出来。在第 3 步，将 9 个第 2 步的复制图形放到 3×3 的网格中，每两个图形中有一个对称图形，然后把它们连接起来（图 3.17）。
只要愿意，我们可以这样一直继续下去，构造出第 4 步、第 5 步，依此类推（图 3.18）。
很快，细节就变得无比细微和密实，以至于无法绘制出正确的图形。从第 5 步开始，想要绘制出佩亚诺的线条就需要一点儿想象力了，但根据上一步构造出下一步的原理始终不变。于是，这位意大利数学家提出了下面这个问题：经过无穷多个步骤之后，我们会得到怎样的图形呢？
就像前文中的巧克力，我们不是很清楚问题本身想说明什么。或者，至少要弄清相关定义，好让问题看上去有意义。这就是佩亚诺设法做到的事情。他构造出这样一条无限长、细节无限细密的线条，然后开始研究它奇异的特性。
佩亚诺这条无限长的线条最令人惊讶也最受争议的特性是，线条完全填满了其勾勒出的正方形。佩亚诺向我们表明，这条线绝对经过了正方形内的所有的点，一个都没落下！如果我们想要以正确的方式描绘这条线，那么最好的办法就是把一个正方形完全涂黑，但即便如此，这也无法忠实呈现曲线在正方形中弯折盘绕的细密痕迹。
对数学界来说，这种构造犹如一种启示。就在此前几年，还没有人会相信一条线可以填满整个面。佩亚诺曲线成功地把狄多的切割推向了无穷。迦太基城创始人的牛皮条很细，但仍有一定的厚度。如果狄多能够切割出佩亚诺曲线，那么这条曲线就能把整个地球、太阳系、银河系等统统收入囊中！
佩亚诺曲线以简单、直观的方式验证了几年前格奥尔格·康托尔在集合论框架内公布的一个结果：一条线上的点和一个实心正方形中的点一样多。
在几何学中，点是图形的基本组成部分。点没有任何厚度，因此每个几何图形都由无限细密的无穷多个点组成。线和正方形一样，含有无穷多的点，那么康托尔的集合论自然就会关注以下这个问题：一条线上的点是否和一个正方形中的点一样多？
只需对两者进行观察，我们就会忍不住认为正方形中的无穷大要“大于”线上的无穷大。就像我们之前会认为整数的无穷大要大于奇数的无穷大一样。在第一次提出这个问题的时候，康托尔本人就是这么想的。而在发现自己的理论与自己的直觉相悖时，他又花了一段时间才确信自己没有弄错。在一封 1887 年写给朋友兼同僚理查德·戴德金(Richard Dedekind)的信中，康托尔表示：“我看到了，但是我不相信。”应该说，康托尔的演示仍略显抽象，而且很难让线上的点和正方形中的点之间的对应变得直观。
直到 13 年后，朱塞佩·佩亚诺加入了这一讨论，他提出了关于同一结果的新证据，一种更为几何的证据。佩亚诺在 1890 年发表的那篇文章很短，只有四页，但他的曲线却引起了轰动。今人很难想象，康托尔的演示和佩亚诺的曲线在 19 世纪末的数学界引发了何等深刻的质疑。启示突如其来。短短几年之间，两位学者一举铲除了自欧几里得的著述问世以来人们对几何所抱有的偏见，而欧几里得的著述两千多年来从未受到过质疑。
两人的发现远远超出了无限曲线，以及线与正方形之间对应的问题。想要理解随之产生的巨大影响，我们就必须回到几何的源头。
现在就让我们开始一段回到过去的旅程吧。