关于我们在前文中谈到的所有主题，还有千言万语可以述说。从对数到相对论，从万有引力到无穷大，每个主题都异常丰富，以至于每个主题都有成卷的专门著作，一些学者耗尽毕生精力去研究它们。为了讲述这些故事，我不得不做出选择，舍弃一些激动人心的事情，对一些细节视而不见，以便直奔主题。
但是，有一点，我认为有必要做一些澄清。在讲述科学史的时候，沉醉于一些魅力非凡、才华横溢的杰出人物的冒险中，是一件愉快的事情，这些人物在他们所处的时代和领域都留下了不可磨灭的印记。欧几里得、牛顿或爱因斯坦，个个都堪称天才。但现实总是比我们讲述的故事要更复杂和微妙。科学首先是一种集体冒险，孤独的天才凭借一人之力做到了别人做不到的事情，这种传说纯属无稽之谈。
就以爱因斯坦为例。有人可能会问：没有爱因斯坦，我们的科学今天会是什么样子？嗯，或许会是同一个样子。当然，爱因斯坦发挥的作用是决定性的，而这不是是否要剥夺他应得荣耀的问题。他懂得如何巧妙地协调那个时代正在萌芽的科学思想，并用自己的发现对其进行补充。但如果不是他，其他人也迟早会那样做，或许会以不太一样的方式去做，或许会以不同的顺序去做。然而毫无疑问的是，在 21 世纪初，我们仍然会知道相对论。
1900 年，也就是狭义相对论发表五年前，在亨利·庞加莱的一篇文章中已经出现了 公式图 这个方程，尽管当时只是在特殊情况下被提了出来。1892 年，亨德里克·洛伦茨(Hendrik Lorentz)在电动力学的框架内首次提出了空间和时间膨胀的方程。自 19 世纪末以来，空间几何可能不是欧氏几何的想法就一直萦绕在很多科学家的脑中。简而言之，在爱因斯坦来到时，相对论已经时兴起来了。
这一事实涉及本书中讨论的所有主题。许多如希波克拉底这样的希腊学者早在欧几里得之前就已经开始撰写《几何原本》了。到了纳皮尔的时代，数学已经发展到足以迎接对数到来的阶段，其他几位数学家，如约斯特·比尔吉(Jost Bürgi)或亨利·布里格斯(Henry Briggs)，也为对数的出现做出了贡献。牛顿在《原理》中发明的数学工具——微积分——在同一时间也被德国的莱布尼茨研究出来，结果，对微积分发明权的归属问题争议迭起。曼德博在分形研究中发挥了决定性的作用，但在他之前，包括朱塞佩·佩亚诺或瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基在内的十来位数学家已经在这个方向上有所突破。数百名顶级科学家的国际合作使得拍摄第一张黑洞照片和探测引力波成为可能。这个名单可以一直延续下去。一代又一代人对这个世界充满好奇，以各种方式为科学的进步做出了贡献。因此，如果你想要继续这段旅程，那么就还会有许许多多伟大而令人激动的人物等待你去认识，还会有许许多多关于我们宇宙的奇迹等待你去发现！
在下文中，你会看到一些提示、建议和题外话，它们可能会在你未来的探索中引发你的兴趣。
第一章 超市定律
本福特定律
想要进一步了解侵入我们时代，而我们又不是很清楚如何解释和分析的数字，我推荐你读一读乔丹·艾伦伯格(Jordan Ellenberg)的《魔鬼数学》(How Not to Be Wrong: The Power of Mathematical Thinking)。此书通过很多不同领域的例子告诉我们，直觉如何时不时地欺骗我们，而数学又可以通过哪些方法来进行补救。
如果你有兴趣深入了解大脑的深处以及它是如何思考数字的，那么斯坦尼斯拉斯·德阿纳(Stanislas Dehaene)的《数学隆凸》(La Bosse des maths)会是一本很好的参考读物。这本书文字相当平易近人以全面而引人入胜的笔法，概述了神经科学教给我们的关于在大脑的核心如何思考并形成数学的方式。
如果你碰巧在车库甩卖摊或跳蚤市场闲逛，那么你可以借机看看能否找到那种旧版对数表。阿歇特出版社出版的黄色小本布瓦尔和拉蒂尼对数表是最常见的版本之一，20 世纪初的某些版本也并不少见。这些对数表可能对你的计算不再有多大用处，但翻阅这些布满纳皮尔数字的纸页总会令人心生感佩，这些数字曾对我们的科学进步做出过巨大的贡献。
关于约翰·纳皮尔，其姓氏 Napier 在英语中读作“Naipieur”，在历史上有过不同的写法。需要指出的是，在 17 世纪，这一姓氏还没有像今天这样固定下来。据资料显示，“纳皮尔”曾经出现过的写法有“Napair、Napeir、Nepair、Nepeir、Neper、Napare、Napar”和“Naipper”。讽刺的是，现在确定下来的写法“Napier”，似乎是这位苏格兰数学家生前唯一没有见过的写法。
补充书目
Benford Frank, « The Law of Anomalous Numbers », Proceedings of the American Philosophical Society, mars 1938, vol. 78, no 4.
Bouvart Camille et Ratinet Alfred, Nouvelles Tables de logarithmes, Hachette, 1957.
Church Russell M. et Deluty Marvin Z., « Bisection of Temporal Intervals », Journal of Experimental Psychology : Animal Behavior Processes, juillet 1977, vol. 3, no 3, p. 216 - 228.
Collectif IREM de Grenoble, Quel est l'âge du capitaine?, Bulletin de l'APMEP no 323, avril 1980.
Dehaene Stanislas, Izard Véronique, Spelke Elizabeth et Pica Pierre, « Log or Linear? Distinct Intuitions of the Number Scale in Western and Amazonian Indigene Cultures », Science, mai 2008, vol. 320.
Laplace Pierre-Simon, Exposition du système du monde, Imprimerie du Cercle Social, 1796.
Napier John, A Description of the Admirable Table of Logarithmes (Mirifici Logarithmorum canonis Descriptio), traduit du latin en anglais par Edward Wright, Simon Waterson, 1616.
Napier Mark, Memoirs of John Napier of Merchiston, his Lineage, Life and Times, with a History of the Invention of Logarithms, William Blackwood et Thomas Cadell, 1834.
Newcom Simo, « Note on the Frequency of Use of the Different Digits in Natural Numbers », American Journal of Mathematics, décembre 1881, vol. 4, no 1.
Platt John R. et Davis Eric R., « Bisection of Temporal Intervals by Pigeons », Journal of Experimental Psychology : Animal Behavior Processes, avril 1983, vol. 9, no 2, p. 160 - 170.
Proust Christine, Tablettes mathématiques de Nippur, Institut français d'études anatoliennes - Georges Dumézil, De Boccard Édition 2007, p. 3 - 4.
Siegler Robert S. et Booth Julie L., « Development of Numerical Estimation in Young Children », Child Development, mars/avril 2004, vol. 75, no 2.
下次你去超市的时候，看看价格的前几位数字。即便你对这种数字已经见怪不怪，但在亲眼看到它时依然会觉得醒目异常。
第二章 苹果和月亮
引力定律
弗洛伦斯·特里斯特朗(Florence Trystram)的《星辰的审判》(Le Procès des étoiles)讲述了布给、拉·孔达米纳和同伴们为测量子午线而前往秘鲁的探险。这本引人入胜的书带着我们走进主人公日复一日的探险生活，包括挫折、人类的挑战和科学的希望。这本书读起来就像小说，没有技术细节的讨论，所有人都可轻松阅读。
牛顿的《原理》技术性强，就连那些不习惯当时文风的数学家们读起来也颇为困难。另外，埃米莉·杜·夏特莱(Émilie Du Châtelet)的法译本则附有译者的评论，可谓是成功的试水普及版。这个附录的标题是《世界体系简述及牛顿先生之〈原理〉中主要天文现象的解释》(Exposition abrégée du système du monde et explication des principaux phénomènes astronomiques tirée des Principes de M. Newton)。尽管其中有少量的小计算，但整体上读来颇为轻松，无须过多的知识储备。
这本书的文风令人愉悦，此外，埃米莉·杜·夏特莱还对那些有时会迷失方向的科学家进行了无伤大雅的调侃，包括开普勒及其关于柏拉图立体的离奇体系，我们在前文中谈到过这一点。她写道：“开普勒仅靠遵循几何的指引就获得如此美丽和重要之发现，提供了最引人注目的证据之一，那就是：最优秀的头脑在放弃这种指引而沉溺在发明系统的乐趣中时，会走上歧途。”
补充书目
I. I. Baliukin, J. -L. Bertaux, E. Quémerais, V. V. Izmodenov, et W. Schmidt, « SWAN/SOHO Lyman-α mapping : the Hydrogen Geocorona Extends Well Beyond The Moon », JGR Space Physics, février 2019, vol. 124, p. 861 - 885.
Barton Bill, « The Language of Mathematics », Telling Mathematical Tales, 2008.
Pierre Bouguer, La Figure de la Terre, 1749.
Calais Éric, Cours de géodynamique, chapitre 4 : « Pesanteur et géoïde », 2016.
Celsius Anders, « Observationer om twänne beständiga grader på en thermometer », Kungliga Svenska Vetenskapsakademiens Handlingar, 1742, vol. 3, p. 171 - 180.
Kepler Johannes, Mysterium Cosmographicum, 1596.
Kepler Johannes, Astronomia Nova, 1609.
Newton Isaac, Philosophiae naturalis principia mathematica, 1687 ; traduction française par Émilie du Châtelet, 1756.
William John Thoms, John Doran, Henry Frederick Turle, Joseph Knight, Vernon Horace Rendall et Florence Hayllar, Notes and Queries : Umbrellas, Oxford University Press, 1950 ; rééd. 2006, p. 25.
第二章中提出的雨伞比喻经常用于指代以下三个步骤的过程：撑开雨伞、行走、收起雨伞。但是，“雨伞定理”这种说法并不通用，而是我自己的发明。请注意，这个结果严格来说并不是一个“定理”，但我喜欢这种说法，所以还请大家原谅我的这个偏差。在数学中，根据上下文，这个非定理可以被称为“基础变化公式”或“内自同构”。
第三章 无限的曲折
分形维数
本华·曼德博撰写了很多关于分形的著作，适合普通读者阅读。比如《分形对象：形、机遇与维数》(Les Objets Fractals:Forme, Hasard et Dimension)，再比如《分形、机遇与金融》(Fractales, hasard et finance)，还有英语读者可以一读的《大自然的分形几何学》(The Fractal Geometry of Nature)。想要直观地了解分形，你尽可以上网查看能够找到的瑰丽图片，还有分形细节被无限放大的视频。
爱德华·卡斯纳和詹姆士·纽曼在《数学与想象》(Mathematics and the Imagination)一书中发明了古戈尔和古戈尔普勒克斯，这是一本畅销书，书中提供了大量示例，并描述了不同经典数学概念的概貌。
补充书目
Archimède, L'Arénaire, IIIe siècle av. J. -C.
Cantor Georg, On a Property of the Collection of All Real Algebraic Numbers, 1874.
Collectif, Guinness World Records, 2010.
Collectif, Lalitavistara Sūtra, IIIe siècle.
Euclide, Les Éléments, IIIe siècle av. J. -C.
Hausdorff Felix, « Dimension und äusseres Mass », Mathematische Annalen, 1919, vol. 79, p. 157 - 179.
Ifrah Georges, Histoire universelle des chiffres, Robert Laffont, 1981.
Mandelbrot Benoît, « How Long Is the Coast of Britain ? Statistical Self- Similarity and Fractional Dimension », Science, mai 1967.
Peano Giuseppe, « Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane », Mathematische Annalen, 1890, vol. 36, p. 157 - 160.
Richardson Lewis Fry, The Problem of Contiguity : an Appendix to Statistics of Deadly Quarrels, in General System Yearbook, Society for General Systems Research, 1961.
Sierpinski, Waclaw, Sur une courbe dont tout point est un point de ramification, compte rendu de l'Académie des sciences de Paris, 1915, p. 302 - 305.
Virgile, L'Énéide, livre I, 29 - 19 av. J. -C.
在这个部分中，我选择不深入集合论的核心，而是集中讨论其关于分形的有用结果。但是，这种选择让我们错过了康托尔最美妙的定理，该定理证明存在许多个无穷大！存在元素无法匹配的无限集合，如整数和奇数的情况。我们所说的康托尔对角线的证明特别优雅，如果你感兴趣，可以自行对这一主题进行研究。
第四章 模糊的艺术
庞加莱度量
在《科学与假设》(La Science et l'Hypothèse)中，亨利·庞加莱对科学以及数学与世界的关系进行了反思。尤其是，他在书中提出了以其名字命名的圆盘，以及孕育了相对论的第四维和观点。这本书出版于 1902 年，比爱因斯坦发表的狭义相对论早了三年。另外，还有一个争议，一些科学家认为，爱因斯坦在这一发现中被赋予了过多的功劳，而庞加莱的贡献则被低估。
想要探索维度的概念，我还可以给你推荐乔斯·雷斯(Jos Leys)、艾蒂安·吉斯(Étienne Ghys)和奥雷里恩·博里(Aurélien Alvarez)拍摄的电影《维度》(Dimension)。你可以在网上找到这部电影的免费版。影片中美妙的动画会带着你进入第四维度的世界并欣赏它的各种表现形式。
补充书目
Aristote, Météorologiques, IVe siècle av. J. -C.
Aristote, Organon, IVe siècle av. J. -C.
Beltrami Eugenio, « Teoria fondamentale degli spazii di curvatura constante », Annali di Matematica, 1868, Ser II. 2 : 232 - 255.
Borges Jorge Luis, « Funes el memorioso », La Nación, 1942.
Davidoff Jules, Davies Ian et Roberson Debi, « Colour categories in a stone-age tribe », Nature, mars 1999, vol. 398.
Euclide, Les Éléments, IIIe siècle av. J. -C.
Molière, L'Avare, septembre 1668.
Proclus, Commentaires sur le premier livre des Éléments d'Euclide, Ve siècle.
Russell Bertrand, « Recent Work on the Principles of Mathematics », International Monthly, 1901, vol. 4.
Whitehead Alfred North et Russell Bertrand, Principia Mathematica, Cambridge University Press, 1910.
第五章 空间和时间的深渊
空间与时间膨胀系数
关于相对论的书籍可谓汗牛充栋，你会难以选择。物理学家乔治·伽莫夫(George Gamow)从 20 世纪 40 年代开始创作的《物理世界奇遇记》(The New World of Mr Tompkins)非常有趣，也很有教育意义。在汤普金斯先生发现相对论时，伽莫夫给他设置了一个光速为 30 千米 / 时的世界，从而展现出空间和时间的膨胀对我们日常度量的影响。接下来是大量让我们熟悉这种几何的思想实验。
爱因斯坦自己也写过一本很受欢迎的书：《狭义与广义相对论浅说》(Relativity: The Special and the General Theory)。但是，这本书的广受欢迎和书中的理论一样，是相对的。爱因斯坦的理论自然比他的科学文章更容易理解，但仍然给出了一些方程，读者需要具有良好的高中教育水平才能充分受益。
1978 年，让 - 皮埃尔·卢米涅(Jean-Pierre Luminet)成为第一个模拟出黑洞图像的人，他也写了几本面向大众的好书。比如 1987 年出版的《黑洞》(Les Trous noirs)（注：这本书在 2006 年经增订后，更名为《黑洞与暗能量：宇宙的命运交响》（Le destin de l'univers: Trous noirs et énergie sombre，中译本由人民邮电出版社在 2017 年出版）。——译者注），就是一本关于这个主题的参考读物，不仅写得很好，而且还提供了引人入胜的信息。斯蒂芬·霍金的《时间简史》(A Brief History of Time)也是一部经典著作和畅销书。而最近，曾师从霍金的克里斯托弗·加尔法德(Christophe Galfard)撰写的《极简宇宙史》(L'Univers à portée de main)是一本相当不错的普及读物，它为我们提供了一幅宇宙和目前我们对宇宙认知的迷人全景，而篇幅不长的《 公式图 》则对这个方程做出了清晰而简洁的描述。
黑洞和时空的扭曲依然在继续给我们带来惊喜。好吧，我保证，我再给你最后一个惊喜，之后我就会打住。你是否注意到，把超大质量的恒星用作宇宙的镜子是有可能的？
想象一下，光从地球出发，在宇宙中传播，并在恰好半途偏移的距离上和一个黑洞擦肩而过。于是，这些光会返回到可以被我们捕捉从而进行自我观察的方向上。如果这个黑洞距离我们 5000 万光年，就像 2019 年拍摄的 M87* 黑洞，那么光的往返就需要 1 亿年。因此，我们将能够收集到地球过去的图像。恐龙或尼安德特人的图片今天仍在太空中漫游，而几何变形无疑让其中的一些图片回到了我们的身边。
可惜啊，我们的技术手段还远远无法进行如此精确的观察。但有一天也许可以，谁知道呢……
© EHT Collaboration
补充书目
Collectif, « The Event Horizon Telescope Collaboration - First M87 Event Horizon Telescope Results. I. The Shadow of the Supermassive Black Hole », The Astrophysical Journal, 2019, vol. 875, no 1.
Einstein Albert, « Zur Elektrodynamik bewegter Körper », Annalen der Physik, septembre 1905, vol. 322, no 10, p. 891 - 921.
Einstein Albert, « Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig ? », Annalen der Physik, novembre 1905, vol. 323, no 13, p. 639 - 641.
Galilée, Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo, 1632.
George Gamov, M. Tompkins, Presses de l'université de Cambridge, 1965.
Luminet Jean-Pierre, Les Trous noirs, Belfond, 1987.
Minkowski Hermann, « Raum und Zeit », Physikalische Zeitschrift, 10, 1909, p. 75 - 88.
在结束本书之前，我还要感谢所有通过支持、鼓励和参与成就了本书的人。我要特别感谢克里斯托弗·阿布斯(Christophe Absi)、克洛伊·布沙伍尔(Chloé Bouchaour)、埃娃·布慈(Eva Bouts)以及马努·乌达尔(Manu Houdart)和罗歇·芒叙(Roger Mansuy)，感谢他们睿智而富有洞见的建议。
没有任何关于世界的理论是确定的。数学是美丽的，但它仍然受到现实跌宕起伏的摆布。这是好，也是坏。牛顿为此付出了代价。爱因斯坦又能持续多久呢？
在我们对宇宙的观察中，已经出现了一些不准确之处。天文学家大规模测量的星系运动与相对论的预测并不完全一致。人们为了解释这一点开展了研究工作，并设想存在一种新的物质形式——暗物质，但它尚未被发现。关于这种物质的一切仍有待我们去了解。没有什么是确定的。这个偏差相当于一个海王星，还是一个火神星呢？它会把我们引向哪里：为相对论带来新的荣耀，还是找到一个为它敲响丧钟的新发现？探索仍在继续，这些问题开启的前景是广阔而迷人的。
有一天，我们能否完全了解在这个世界的幕后转动的巨大齿轮？或者，真相会像海洋的天际线一样总是遥不可及？科学家们喜欢的是理论奏效的时刻，但他们中很多人最喜欢的，是理论暴露出自己缺陷的时刻。正是在这些突破口中，蕴藏着发现的兴奋、冒险的趣味和我们对未知领域的迷恋。了解这个世界的道路是如此美丽，我们甚至希望它永远不会走到尽头。
生活在一个科学进步比以往任何时候都快的时代，我们何其幸运！在我们之前，没有任何一代人在一生中看到过这样的进步。所以，让我们紧紧握住这样的机遇，欣赏这个世界上演的精彩芭蕾舞剧，沉醉在世界的绚烂烟火之中。不要害怕自己不知道的事物，它们是你最美的规划。当我们的雨伞不再撑开时，就不要再退缩了。让我们向前迈进吧，让我们赞叹吧，让我们在雨中起舞吧。
精彩的剧目还在继续。