你知道你家的面积有多少平方毫米吗？通常，住宅面积以平方米为单位，而要用另一个单位来计算这个面积，就必须进行度量单位的转换。那么，你知道 1 平方米是多少平方毫米吗？
这个问题是孩子们在学校里学习转换度量单位时碰到的“必问题”之一。想象一个边长为 1 米的正方形被切割成棋盘状，每个小方块的边长为 1 毫米。这个棋盘有 1000 列和 1000 行，总共有 1000×1000，即 1000000 个小方块。因此，1 平方米就等于 100 万平方毫米。
这个信息值得我们细读一番。看看你脚下的地板或周围的墙壁，试着在脑中画一个边长为 1 米的正方形。然后，想象一下把这个正方形切割成由 1000×1000 个 1 平方毫米的小方块组成的棋盘。如果把所有这些小方块一一编号，你觉得需要多长时间？不要精确计算，大致估计一下就行，你觉得编号需要多长时间？大多数被问到这个问题的人会估计需要几分钟到几小时不等。
当然了，如果你还记得杰里米·哈珀的实验，你就知道数到 100 万需要三个月！你就算知道，也很难相信。我们的大脑在大数面前依然表现得笨拙不堪，而且我们很难让自己相信在一天之内是无法完成编号的。但是，与其相信直觉，我们应该更相信计算。
简而言之，每 1 平方米里确实有 100 万平方毫米。因此，如果你住在一套 70 平方米的公寓里，那就相当于 70000000 平方毫米。看看你脚下的地板，想象一下所有你可以在地板上切割出的边长为 1 毫米的小方块，这样你就会对法国的居民数量有一个概念。如果你住在一个 15 平方米的单间里，你就可以得到厄瓜多尔的人口。而如果你住在一幢 200 平方米的房子里，你就会得到巴基斯坦的人口。
如果从体积上去考虑的话，结果会更加令人吃惊。我们可以把一个棱长为 1 米的立方体切割成三维棋盘，这个棋盘由棱长为 1 毫米的小立方体组成，这样就有 1000×1000×1000，也就是 10 亿个小立方体！
试着想象你面前有三个这样的立方体。如果每个小立方体代表 1 秒，那么你看到的就是 95 年！这相当于人类漫长一生的时间。在面积为 70 平方米、天花板高 2.5 米的公寓里，棱长 1 毫米的立方体的数量和自史前时代结束、文字发明至今流逝的秒数一样多。
简而言之，量级的变化，比如从米到毫米，会导致量度的变化，后者的变化取决于测量对象是一维的、二维的还是三维的。我们可以用另一种方式观察到同一特性。如果你想用一条线段拼成一条比它长的线段，只需将其复制 2 次。如果你想用一个正方形拼成一个比它大的正方形，则需将其复制 4 次，因为其大小需在长度和宽度上各增加 1 倍（图 3.26）。
而要用一个立方体拼成比它大的立方体，则需将其复制 8 次，因为其大小得在三维上各增加 1 倍：2×2×2=8（图 3.27）。
这一特性在立方体中尤为明显，因为立方体可以让你用拼图的方式重构出较大的立方体，这一特性对所有的立体都为真。因此，需要 8 个小方块才能拼出更大的立方体。
而这一点解释起来也很自然：要让一个三维图形构成更大的三维图形，就必须同时令其长、宽、高都增加 1 倍；但是，连续 3 个倍增就构成 8 倍，也就是体积乘以 8。
这些结果可以总结为图 3.28。
这幅图至关重要，因为正是它弥补了佩亚诺曲线的不足。它为我们提供了一种新的、更为牢靠的维度定义。要了解一个图形的维度，你只要问问自己：需要将这个图形至少复制多少次，才能拼成更大的图形。如果答案是 2 次，那么这个图形就是一条一维的线；如果答案是 4 次，那么它就是一个二维的面；如果是 8 次，那么它就是一个三维的体。这听起来没什么出奇的，但这是一种革命性的方法，并很快会为我们带来重大的结果。
另外，图 3.29 难道没有让你回想起什么来吗？图的上方是一根乘法轴，每个刻度是前一刻度的两倍(×2)。下方是一根加法轴，每个等级的维度都增加了一维(+1)。换句话说，维度之于倍增系数，就像加法之于乘法。是时候把纳皮尔的对数表从抽屉里拿出来了！
你看，这幅图和图 1.17 一模一样。
图中左侧的 2、4 和 8 和图 1.17 中的完全对应。这就是关于大小的发现：维度是倍增系数的对数！纳皮尔早于康托尔和佩亚诺三个世纪就创造出了可以“驯服”维度的数学工具。
这一发现不仅回答了我们的问题，同时也提出了千百个其他的问题。对数表没有止步于三维，而是走得更远。观察一下图 3.29 右侧的情况。单从表面上看，我们会发现，要让一个四维图形扩大，至少需要将其复制 16 次；而要让一个五维图形扩大，至少需要将其复制 32 次，依此类推。
这有什么意义吗？几何中是否存在四维、五维或更高维度的图形？是否存在此前被欧几里得和他的继承者们忽略的新维度？
答案很复杂，而且我们要记住，数学和物理学是两码事。我们所在的真实世界是三维的——存在于其中的物体的体积可以被测量。而数学，其原理是创造虚构的世界，这些虚构的世界里充满了现实中不存在的物体。那为什么不试着去想象一个四维的世界，并研究这个世界里的几何学和几何图形呢？
四维空间是一个可以通过四个坐标来确定其中的点的空间，当我们用这一空间中的图形去拼成同样的更大的图形时，其量度至少需要乘以 16。很多学者都兴致盎然地研究了这个虚构的世界及其夸张的几何图形。图 3.30 就是这个虚构世界中最著名的图形示例之一——超立方体。
当然了，这个图形不是一个真正的超立方体，因为它是一个印在纸上的平面图形。这只是一个二维图形，但它描绘的确实是一个四维图形。超立方体之于四维，就像立方体之于三维，以及正方形之于二维。我们可以用“超立方米”去测量超立方体，记为 m⁴，而且就像对数表中所显示的那样，需要复制 16 次才能获得一个更大的超立方体。
后文中会再次谈到第四维度，但现在，我们需要继续保持专注。我们目前要做的是了解分形和这些我们并不十分清楚到底是“线”还是“面”的曲线。让我们来看看，维度的新定义能否帮助我们更好地了解它们吧。